הנגזרת של סינוס של זווית שווה קוסינוס של זווית זהה

דנה פשוט פונקצית טריגונומטריה y = sin (x), הוא גזירה בכל נקודה של התחום כולו. עלינו להוכיח כי הנגזרת של סינוס של כל טיעון שווה קוסינוס של אותה זווית, כלומר, "= cos (x).

ההוכחה מבוססת על ההגדרה של פונקציה נגזרת

אנו מגדירים x (שרירותי) באיזו שכונה קטנה של נקודה מסוימת x Δh _0. אנחנו נוכיח את ערך הפונקציה בה, ובבית x הנקודה כדי למצוא את התוספת של פונקצית נתונה. אם Δh - טיעון מוגדל, הטיעון החדש - x זה ₀ + Δx = x, הערך של פונקציה זו עבור ערך נתון של הטיעון (x) שווה sin (x ₀ + Δx), את ערך הפונקציה בנקודה ספציפית (x ₀₎ הוא גם ידוע .

עכשיו אנחנו צריכים Δu = sin (x ₀ + Δh) -Sin (x ₀₎ - פונקצית תוספת שהושגה.

על פי הנוסחא של סכום סינוס של שתי זוויות שוויוניות נוכל להמיר את ההבדל Δu.

Δu = sin (x ₀₎ · cos (Δh) + cos (x ₀₎ · החטאים (Δx) מינוס sin (x ₀₎ = (cos (Δx) -1 ) · החטאים ( x ₀₎ + cos (x ₀₎ · חטאים (Δh).

מבחינת תמורה נערכת מקובצים ראשונים לחטוא שלישי (x _0), לקח את המכנה המשותף - סינוס - הסוגריים. קיבלנו את ההבדל Cos הביטוי (Δh) -1. זה השאיר לשנות את השלט מול בסוגריים בסוגריים. הידיעה מה 1-cos (Δh), אנו הם לבצע את השינוי ולקבל Δu ביטוי פשוט יותר, אשר מחולק אז על ידי Δh.
Δu / Δh תהיה צורה: קוס (x ₀₎ · החטאים (Δh) / Δh 2 · החטאים ² (0.5 x Δh) · sin (x ₀₎ / Δh. זהו היחס בין התוספת של הפונקציה על ההודאה על התוספת של הטיעון.

נותר רק למצוא את המגבלה של יחס מתקבל על ידינו במהלך Lim Δh, נוטה לאפס.

זה ידוע כי מגבלת החטאים (Δh) / Δx שווה 1, תחת התנאי. וההבעה 2 · החטאים ² (0.5 x Δh) / Δh של טרנספורמציות מסוים סכום שהתקבל למוצר המכיל כפי גבול מדהים מכפיל הראשון: במונה של המתרס שבריר ו znemenatel ידי 2, הכיכר של הסינוס להחליף מוצר. הנה כמה:
(החטא (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · החטאים (Δx / 2).
המגבלה של הביטוי הזה כאשר Δh נוטה לאפס, תהיה שווה למספר של אפס (0 מוכפל 1). מתברר כי המגבלה של יחס Δy / Δh הוא cos (x ₀₎ · 1-0, זה cos (x _0), הביטוי של אשר אינו תלוי Δh נוטה 0. המסקנה: נגזרת של סינוס של כל זווית שווה x קוסינוס של x, יכול להיות כפי שנכתב: y "= cos (x).

הנוסחא המתקבלת היא מפורטת בטבלה של נגזרים הידועים, שבו כל הפונקציות האלמנטריות

בפתרון בעיות, שם הוא פוגש את נגזרת של סינוס, אתה יכול להשתמש כללי בידול ונוסחאות מוכנות מראש של השולחן. לדוגמה: למצוא את הנגזרת של y הפונקציה הפשוטה = 3 · sin (x) -15. אנו משתמשים גורם המספרי הסרת היסודי כללי גזירה עבור השלט של הנגזר ולחשב את המספר הקבוע הנגזר (שהוא אפס). החלת ערך שולחן סינוס של הנגזרת של הזווית x Cos השווה (x). קבלו את התשובה: y "= 3 · cos (x) -O. נגזרת זה, בתורו, גם H היסודי הפונקציה y = · cos (x).

הנגזרת של סינוס בריבוע של כל טיעון

בחישוב הביטוי (חטא ² (x)) "צריכים לזכור איך פונקציה מורכבת בדיל. אז, ² = sin (x) - הוא פונקציה כוח כמו סינוס בריבוע. טענתה היא גם פונקציות טריגונומטריות, טיעון מורכב. התוצאה במקרה זה היא שווה למכפלה של המכפיל הראשון הוא ריבוע של הנגזרים המורכבים של הטיעון, והשני - הנגזר של סינוס. הנה הכלל להבחנה פונקציה של פונקציה: (u (v (x))) 'הוא (u (v (x)))' · (v (x))". ביטוי של v (x) - טיעון מורכב (פונקציה פנימית). אם הפונקציה הנתונה "y שווה סינוס בריבוע x", ואז הנגזרת של פונקציה מורכבת זו היא y "= 2 · sin (x) · cos (x). המוצר של המכפיל הראשון הוכפל - נגזר ידוע פונקציה מעריכית, ו קוס (x) - טיעון מורכב נגזר סינוס של הפונקציה ריבועית. התוצאה הסופית ניתן להפוך באמצעות הנוסחה של סינוס טריגונומטריות של זווית כפולה. ת: נגזרת היא חטא (2 · x). נוסחא זו היא קלה לזכור, הוא משמש לעתים קרובות כטבלה.