אלגברה בוליאנית. אלגברה של לוגיקה. אלמנטים של לוגיקה מתמטית

בעולם של היום אנחנו יותר ויותר באמצעות מגוון של מכונות וגאדג'טים. ולא רק כאשר יש צורך להחיל כוח אנושי פשוטו כמשמעו: להזיז את העומס להעלות אותו לגובה, לחפור תעלה ארוכה ועמוקה, וכו 'מכוניות היום לאסוף רובוטים, האוכל מבושל Multivarki וחישובים ארבע פעולות החשבון לייצר מחשבונים ... לעתים קרובות יותר ויותר אנו שומעים את הביטוי "אלגברה בוליאנית". אולי הגיע הזמן להבין את תפקידו של האדם ביצירת רובוטים ומכונות את היכולת לפתור לא רק מתמטית, אלא גם בעיות לוגיות.

היגיון

בלוגיקה היוונית - מערכת הורה מחשבה שיוצרת את הקשר בין התנאים הנתונים ומאפשרת לך להגיע למסקנות מבוססות על הנחות ואומדנים. לעתים קרובות, אנו שואלים אחד את השני: "זה הגיוני" התשובה מאשרת ההנחות שלנו או מבקרת את קו מחשבה. אבל התהליך לא נעצר שם: נמשיך לדבר.

לפעמים מספר תנאים (קלט) הוא כל כך גדול, ומערכת היחסים ביניהם הוא כל כך מבלבל ומורכב כי המוח האנושי אינו מסוגל "לעכל" בבת אחת. ייתכן שיהיה עליך יותר מחודש (שבוע, שנה) עבור הבנה של מה שקורה. אבל החיים מודרניים לא נותנים לנו מרווחי הזמן הללו כדי לקבל החלטות. ואנחנו פונים לעזרת מחשבים. וזה כאן כי קיים אלגברה ולוגיקה, עם החוקים והמאפיינים שלה. לאחר הורדת כל הנתונים המקוריים, אנו מאפשרים למחשב לזהות את כל מערכות היחסים, לחסל סתירות למצוא פתרון משביע רצון.

מתמטיקה ולוגיקה

Leybnits מפורסם גוטפריד Vilgelm גבש את הקונספט של "לוגיקה מתמטית", אשר המשימות היו קלות להבין עיגול קטן בלבד של מלומדים. מעניינת במיוחד היא בכיוון לא גרמו, וכדי באמצע המאה XIX של הלוגיקה המתמטית הידועה ידי כמה.

העניין הרב בקהילה המדעית גרם למחלוקת שבה אנגלי Dzhordzh בול הכריז על כוונתו להקים סניף של מתמטיקה, לא שיש שום שימוש מעשי. ככל שאנו יודעים מההיסטוריה, בשלב זה בפיתוח ייצור תעשייתי פעיל, פיתחנו כל מיני מכונות עזר, t. E. כל התגליות המדעיות היו באוריינטציה מעשית.

במבט קדימה, אנו אומרים כי אלגברה בוליאנית - הנפוצה ביותר בעולם כיום חלק של מתמטיקה. אז הטענה שלך Buhl לאיבוד.

Dzhordzh בול

האישיות של המחבר ראוי לתשומת לב מיוחדת. גם בהתחשב בעובדה כי בעבר האנשים שגדלו לפנינו, עדיין יש לציין כי 16 השנים של ג'ון. Buhl למד בבית הספר בכפר, וכדי 20 שנים נפתחו בית הספר שלו ב לינקולן. מתמטיקאי שולט באופן מושלם חמש שפות זרות, וכן בזמנו הפנוי, היה קריאת יצירות של ניוטון לגראנז. וכל זה - על בנו של עובד מן השורה!

בשנת 1839, בול נשלחו המאמרים המדעיים הראשונים שלו בכתב העת המתמטית בקיימברידג. המדען פנה 24 שנה. עבודתו של בול הוא כל כך חברים המעוניינים של החברה המלכותית, בשנת 1844 קיבל עיטור על תרומתו לפיתוח ניתוח מתמטי. כמה פירסם מאמרים בהם אלמנטים של לוגיקה מתמטית, מתמטיקה אפשרה צעירים לקחת את התפקיד של פרופסור בקולג 'של מחוז קורק תוארו. נזכיר כי על חינוך מאוד בול לא היה.

רעיון

באופן עקרוני, אלגברה בוליאנית היא מאוד פשוטה. ישנן הצהרות (הגיוני ביטויים) כי, מנקודת המבט של המתמטיקה, ניתן להגדיר רק שתי מילים: "נכון" או "שקר". לדוגמה, עצים פורחים באביב - את האמת, בקיץ יורד שלג - שקר. היופי של מתמטיקה הוא שזה לא הכרחי להשתמש במספרים בלבד. בנוגע לשיקולי האלגברה ממש מתאים הצהרות כלשהן עם משמעות ייחודית.

לפיכך, אלגברה של לוגיקה יכול לשמש ממש בכל מקום: בבית ההוראה תזמון וכתיבה, ניתוח של מידע סותר לגבי האירועים השונים וקביעת רצף של פעולות. הדבר החשוב ביותר - כדי להבין שזה לא משנה איך אנחנו קובעים את האמת או השקר של הצהרות. מתוך אלה "איך" ו "למה" אתה צריך להתעלם. מה שחשוב הוא רק ציון עובדה: האמת היא שקר.

כמובן, תכנות הפונקציות החשובות ביותר של אלגברה של לוגיקה כי נרשמות עם סימנים וסמלים מתאימים. ולמד אותם - זה אומר ללמוד שפה זרה חדשה. שום דבר אינו בלתי אפשרי.

מושגים והגדרות בסיסיים

מבלי להיכנס לעומק, אנו מתמודדים עם מינוח. אז, אלגברה בוליאנית מניחה:

• דוחות;
• פעולות לוגיות;
• פונקציות וחוקים.

דוחות - כל ביטוי בחיוב שיכול להתפרש-מוערך השני. הם נכתבים כמספרים (5> 3) או מילים מוכרות גיבשה (פיל - היונק הגדול). במקרה זה, הביטוי "הצוואר של הג'ירפה הוא לא" יש גם זכות קיום, רק אלגברה בוליאנית מגדירה אותו "שקר."

כל האמירה צריכה להיות חד משמעית, אך הם עשויים להיות בסיסיים או תרכובת. לאחרונה להשתמש בחבילה הגיונית. א במתחם פסקי דין דוחות אלגברה נוצר על ידי התוספת של פעולות לוגיות יסודיות.

פעולות אלגברה בוליאנית

אנחנו כבר לזכור כי פעילות האלגברה של פסקי דין - הגיוניות. כשם האלגברה של מספרים באמצעות פעולות אריתמטיות להוסיף, להחסיר, או להשוות מספרים, אלמנטי היגיון מתמטיים לאפשר להצהיר הצהרות מורכבות, להכחיש או לחשב את התוצאה הסופית.

פעולות לוגיות על פורמליזציה והפשטות הביעה ידי הנוסחא, המוכרת לנו בחשבון. מאפיינים של משוואות אלגברה בוליאנית מאפשרים להקליט ולחשב הלא נודע. פעולות לוגיות נרשמות בדרך כלל על ידי שולחן האמת. מרכיביו להגדיר עמודות ותפעול מחשוב אשר מבוצע על אותם, ואת השורות להראות תוצאה של חישובים.

היגיון בסיסי של פעולה

הנפוצים ביותר בפעילות אלגברה בוליאנית הם שלילה (NOT), ואת הלוגי AND ו- OR. אז אפשר לתאר כמעט כל השלבים פסקי אלגברה. למדנו בפירוט לכל אחת משלוש הפעולות.

השלילה (לא) מוחלת רק אלמנט אחד (האופרנד). לכן, הניתוח נקרא שלילה אונרי. כדי להקליט את הרעיון של "לא" סימנים כאלה באמצעות: ¬A, א'או !. בצורת טבלה זה נראה כך:

הפונקציה של הכחשה טיפוסית של הצהרה כזו: אם זה נכון, אז א '- היא שקרית. לדוגמא, הירח סובב סביב כדור הארץ - את האמת; כדור הארץ מסתובב סביב הירח - שקר.

כפל בנוסף לוגיים

הגיוני המבצע נקרא יחד. מה זה אומר? ראשית, כי זה יכול להיות מיושם על שני אופרנדים, כלומר, אני - .. פעולה בינארית. שנית, זה רק במקרה של האמת של שני האופרנדים (A ו- B) הוא נכון ואת הביטוי עצמו. הפתגם, "סבלנות מאמץ קטן" מרמז כי רק שני גורמים יכולים לעזור לאדם להתמודד עם הקשיים.

סימנים משמשים הקלטה: A∧B, A⋅B או A && B.

ההתקבצות דומה כפל בחשבון. לפעמים ואומרים - כפל לוגי. אם תכפיל את האלמנטים של השורות של הטבלה, אנחנו מקבלים תוצאה דומה לחשיבה לוגית.

נתק הוא הגיוני או מבצע. זה נכון אם לפחות אחד מהמשפטים נכון (או A או B). זה כתוב ככה: A∨B, A + B או A || B. שולחן האמת על פעולות אלה הם:

נתק בחיבור אריתמטי דומה. פעולת חיבור לוגית יש רק מגבלה אחת: 1 + 1 = 1. אבל נזכור כי בפורמט דיגיטלי מוגבל היגיון מתמטי 0 ו 1 (כאשר 1 - את האמת, 0 - שקר). לדוגמא, ההצהרה "במוזיאון ניתן לראות יצירת מופת או למצוא חברה טובה" אומרת מה אתה יכול לראות יצירות אמנות, ולא מן הנמנע לפגוש אדם מעניין. במקביל, לא פוסל את האפשרות של קיום בו זמני של שני האירועים.

פונקציות וחוקים

אז, אנחנו כבר יודעים מה הפעולה הלוגית באמצעות אלגברה בוליאנית. פונקציות לתאר את כל המאפיינים של האלמנטים של לוגיקה מתמטית, ולאפשר לנו לפשט דוחות מתחם מורכבים. הכי ברור ופשוט נראה רכוש דחייה של פעולות נגזרים. By נגזר הם הבינו XOR, משמעות שקילה. כפי שקראנו רק עם הפעולות הבסיסיות, ולאחר מכן הנכס הוא גם רק חושב עליהם.

אסוציאטיבי כלומר בדוחות כגון "A ו- B, ורישום הרצף" B האופרנדים לא משנים. הנוסחה נכתב כדלקמן:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

כפי שאתה יכול לראות, זה לא ייחודי בשיתוף אבל ניתק.

Commutativity טוען כי התוצאה של הצירוף או ניתק אינה תלויה איזה פריט נחשב בתחילת הדרך:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity מאפשר לחשוף בסוגר ביטויים לוגיים מורכבים. כללים דומים הסוגר פותח את הכפל בנוסף באלגברה:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

יחידת נכסים מאפס, אשר יכול להיות אחד האופרנדים הם גם דומה כפל אלגבריים ידי אפס או אחד, ועל תוספת של יחידה:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

אידמפוטנט אומר לנו שאם יחסית שני האופרנדים שווים את התוצאה של הפעולה היא זהה, אתה יכול "לזרוק" האופרנדים ההנמקה לסבך העודפים. והפעולות בשיתוף ועל נתק הם idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

רכישה גם מאפשרת לנו לפשט את המשוואה. קליטה קובעת כי כאשר הביטוי מוחל האופרנד אחד, פעולה אחרת עם אותו האלמנט של האופרנד תוצאת סופג פעולה.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

רצף של פעולות

הרצף של פעולות הוא בעלת חשיבות רבה. למעשה, כמו אלגברה, קיימת פונקציה עדיפות המשתמשת אלגברה בוליאנית. נוסחאות ניתן לפשט רק בכפוף המשמעות של פעולות. דירוג של רוב משמעותי זניח, נקבל את הרצף הבא:

1. מניעה.

התקבצות 2..

3. נתק, XOR.

4. המשמעות, שקילות.

כפי שאתה יכול לראות, רק שלילה בשיתוף ואין להם עדיפות שווה. עדיפות של הניתק ו XOR שווה, כמו גם את סדרי העדיפויות של משמעות שקילה.

פונקציות של משמעות שקילה

כפי שאמרנו, בנוסף פעולות לוגיות בסיסיות, לוגיקה מתמטית תורת האלגוריתמים באמצעות נגזרים. זהו לרוב המשמעות שקילה.

המשמעות או תוצאה הגיונית - את ההצהרה הזו, שבה פעולה אחת היא מצב, והשני - התוצאה של יישומו. במילים אחרות, הצעה זו עם תירוץ של "אם ... אז". "אחרי הארוחה מגיעה ההתחשבנות." .ה נהיגה צריכה להדק על גבעת המזחלת. אם אין רצון לרדת מן ההר, ולאחר מכן לגרור את המזחלת אינו הכרחי. כתוב כך: A → B או A⇒B.

שקילות מרמזות כי השפעת נטו מתרחשת רק כאשר הן האופרנדים הם אמיתיים. לדוגמה, הלילה מפנה את מקומה יום לאחר מכן (ורק אז), כאשר השמש זורחת מעל האופק. בשפת ההיגיון המתמטי של הצהרה זו נכתבת כמו A≡B, A⇔B, A B. ==

חוקים אחרים של אלגברה בוליאנית

אלגברת שיפוט המפתחת, ומדענים מעוניינים רבים לנסח חוקים חדשים. המפורסם ביותר נחשבים מניח מתמטיקאי סקוטי O. דה מורגן. הוא שם לב ונתן הגדרה של תכונות כגון שלילה קרובה, בנוסף ושלילי כפולים.

הכחשה לסגור עולה כי לפני הסוגריים אינו מכחיש: לא (A או B) = לא A או B. NOT

כאשר האופרנד נדחה, ללא קשר לשווי שלה, לומר על כן:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

ולבסוף, השלילה הכפולה עצמו מפצה. כלומר לפני שלילה או האופרנד נעלם או נשאר רק אחד.

כיצד לפתור מבחנים

לוגיקה מרמז משוואות מראש פישוט. בדיוק כמו שקר האלגברה, יש צורך להקל מקסימאלי תנאי ראשון (להיפטר פעולות קלט מסובכות, ואיתם), ואז להתחיל לחפש את תשובה נכונה.

מה לעשות כדי לפשט? המרת כל הנגזרים בפעולה פשוטה. ואז לחשוף את כל הסוגריים (או להיפך, על מנת להפוך את הסוגריים כדי להפחית את האלמנט הזה). השלב הבא צריך להיות כדי להשתמש תכונות אלגברה בוליאנית בפועל (מאפייני הקליטה אפס ואחד, ו t.).

בסופו של דבר, המשוואה צריכה להיות מורכבת מספר מינימאלי של אלמונים, בשילוב עם פעולות פשוטות. הדרך הקלה לחפש פתרון, אם תבצע מספר רב של תשלילים קרובים. אז התשובה תופיע כאילו מעצמה.