אינטגרל בלתי מוגבל. חישוב אינטגרל לא אמיתי

אחד הסעיפים הבסיסיים של ניתוח מתמטי הוא אינטגרלי חצץ. זה מכסה תחום מאוד רחב של חפצים, שבו הראשון - הוא ללא הגבלת זמן נפרד. תפקיד זה עומד כמפתח כי הוא עדיין בתיכון מגלה מספר גדל והולך של לקוחות פוטנציאליים והזדמנויות, אשר מתאר מתמטיקה גבוהה.

המראה

במבט ראשון, זה נראה לגמרי בלתי נפרד המודרנית, אקטואלי, אך בפועל מתברר כי הוא חזר ב 1800 לפני הספירה. בית אל נחשב מצר באופן רשמי לא הגיע אלינו קודם לכן הוכחה לקיומו. זה בשל חוסר מידע, כל הזמן בעמדה פשוט כתופעה. הוא שוב מאשר את רמת הפיתוח המדעי של העמים של זמנים ההם. לבסוף, העבודות נמצאו המתמטיקאים היווניים העתיקים, מתקופת לפנה"ס המאה ה -4. הם מתארים את השיטה שבה אינטגרלית בלתי מוגדר, את המהות של מה שהייתה כדי למצוא את הנפח או שטח של צורה מפותלת (תלת ממדי מטוס הדו-ממדי, בהתאמה). חישוב התבסס על העיקרון של חלוקת הדמות המקורית למרכיבים זעירים, ובלבד הנפח (אזור) כבר ידוע להם. במשך זמן, השיטה גדלה, ארכימדס השתמש בו כדי למצוא את השטח של פרבולה. חישובים דומים באותו הזמן לנהל תרגילים בסין העתיקה, שם הם היו עצמאיים לחלוטין מן מדע הבחור היווני.

פיתוח

פריצת הדרך הבאה במאות XI לפנה"ס הפכה את העבודה של החוקר הערבי "עגלה" אבו עליי אל-בצרי, אשר דחפו את הגבולות ידועים כבר, נגזרו הנוסחא הנפרדת לחישוב הסכומים בסכומים המעלים מן הראשונה עד הרביעית, פונה לקבלה הזה מוכר לנו שיטת האינדוקציה.
Minds של היום זוכים להערצה על ידי המצרים הקדמונים יצרו המונומנטים מדהים ללא כל כלים מיוחדים, מלבד זה של הידיים שלהם, אך הוא אינו מדענים מטורפים כוחו של הזמן לא פחות נס? בהשוואת הפעמים הנוכחיות של חייהם נראים כמעט פרימיטיווי, אבל ההחלטה של אינטגרל לא להסיק בכל מקום ומשמשת בפועל להמשך פיתוח.

השלב הבא התרחש במאה ה XVI, כאשר המתמטיקאי האיטלקי Cavalieri הביא שיטה לחלוקה, אשר הרים Per Ferma. האישיות שני אלה הניחה את היסודות עבור אינטגרלי חצץ המודרני, אשר ידוע כרגע. הם קשרו את המושגים של גזירה ואינטגרציה, אשר נראו בעבר כיחידות עצמאיות. באופן כללי, המתמטיקה של אותה תקופה הייתה חלקיקים מקוטעת ממצאים להתקיים בכוחות עצמם, עם שימוש מוגבל. הדרך להתאחד ולמצוא מכנה משותף היה נכון רק ברגע, הודות לו, המודרני ניתוח מתמטי לי את ההזדמנות לגדול ולהתפתח.

עם חלוף הזמן משנה הכל וסמל בלתי נפרד גם כן. באופן כללי, זה יועד מדענים אשר בדרכו שלו, למשל, ניוטון המשמש סמל מרובע, אשר שם פונקציה אינטגרלית, או פשוט להרכיב. פער זה נמשך עד המאה ה XVII, כאשר נקודת ציון עבור כל התיאוריה של Leybnits גוטפריד המדען ניתוח מתמטי הציג דמות כזו המוכרת לנו. המוארך "S" מבוסס למעשה על המכתב הזה של האלפבית הרומי, מאז מציין את הסכום הפרימיטיבים. שם נפרד שהושג בזכות יאקוב ברנולי, לאחר 15 שנים.

ההגדרה הפורמלית

אינטגרל בלתי מוגבלת תלוי בהגדרה של פרימיטיבי, ולכן אנחנו רואים את זה מלכתחילה.

Antiderivative - היא הפונקציה ההפוכה של הנגזר, בפועל זה נקרא פרימיטיבי. אחר: פונקציה פרימיטיבית של ד - היא פונקצית D, שהוא ה- V <=> נ נגזר "= v. חיפוש פרימיטיווי הוא לחשב את אינטגרלי בלתי מוגדר, ואת התהליך עצמו נקרא אינטגרציה.

לדוגמה:

הפונקציה של (y) = y ^3, ו- S הפרימיטיבי שלו (y) = (y ^4/4).

הסט של כל הפרימיטיבים של הפונקציה - זו מהווה חלק אינטגרלי בלתי מוגבל, מסומן זה כדלקמן: ∫v (x) dx.

מתוקף העובדה V (x) - הם רק חלק פונקציה מקורית פרימיטיבית, ביטוי מחזיק: ∫v (x) dx = V (x) + C, כאשר C - מתמיד. תחת קבוע השרירותית מתייחס לכל מתמיד, מאז הנגזרת שלה היא אפס.

המאפיינים

המאפיינים אשר בידי אינטגרלי ללא הגבלת זמן, מבוסס בעיקרו על ההגדרה והתכונות של נגזרים.
קח למשל את נקודות מפתח:

• אינטגרל ונגזרת של פרימיטיבי פרימיטיבי עצמה בתוספת ∫V C <=> קבוע שרירותי "(x) dx = V (x) + C;
• נגזרת של אינטגרל של פונקציה היא הפונקציה המקורית <=> (∫v (x) dx) "= V (x);
• מתמיד נלקח מ- תחת סימן האינטגרל <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, כאשר k - הוא שרירותי;
• נפרד, אשר נלקח מתוך סכום השווה זהה לסכום של אינטגרלים <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w dy (y).

שני המאפיינים האחרונים ניתן להסיק כי אינטגרלי בלתי מוגבלת היא ליניארית. בשל כך, יש לנו: ∫ (KV (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

כדי לראות דוגמאות של תיקון פתרונות אינטגרל לא אמיתי.

אתה חייב למצוא את ∫ אינטגרלי (3sinx + 4cosx) DX:

• ∫ (3sinx + 4cosx) DX = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + ג

מהדוגמה אנו יכולים להסיק כי אתה לא יודע איך לפתור אינטגרל לא אמיתי? רק למצוא את כל הפרימיטיבים! אבל החיפוש אחר העקרונות נדון להלן.

שיטות דוגמאות

על מנת לפתור את אינטגרלי, אתה יכול לנקוט בשיטות הבאות:

• מוכן לנצל את הטבלה;
• אינטגרציה בחלקים;
• משולב על ידי החלפת משתנה;
• בסיכום במזל ההפרש.

טבלאות

הדרך הפשוטה ביותר ומהנה. כרגע, ניתוח מתמטי יכול להתפאר שולחנות נרחב למדי, אשר פירט את הנוסחה הבסיסית של אינטגרל לא אמיתי. במילים אחרות, יש תבניות נגזר תלוי בך ואתה יכול רק לנצל אותם. הנה הרשימה של עמדות הטבלה הראשיות, אשר יכול להיות מוצגות כמעט בכל מקרה, יש פתרון:

• ∫0dy = C, כאשר C - קבוע;
• ∫dy = y + C, כאשר C - קבוע;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, כאשר C - קבוע, ו- n - מספר שונה האחדות;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, כאשר C - קבוע;
• ^{dy y ∫e = E y + C} , כאשר C - קבוע;
• ^{y ∫k dy = (k y /} LN k) + C, כאשר C - קבוע;
• ∫cosydy = siny + C, כאשר C - קבוע;
• ∫sinydy = -cosy + C, כאשר C - קבוע;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, כאשר C - קבוע;
• ∫dy / החטא ² y = -ctgy + C, כאשר C - קבוע;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, כאשר C - קבוע;
• ∫chydy = ביישנית + C, כאשר C - קבוע;
• ∫shydy = CHY + C, כאשר C - מתמיד.

במידת הצורך, לעשות כמה צעדים להוביל מִסתַכֶּמֶת לתצוגה טבלאית וליהנות ניצחון. דוגמה: ∫cos (5x -2) DX = 1 / 5∫cos (5x - 2) ד (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + ג

על פי ההחלטה, ברור כי למשל מִסתַכֶּמֶת שולחן חסר מכפיל 5. אנו מוסיפים אותם במקביל ומכפיל את זה על ידי 1/5 לביטוי הכללי לא השתנה.

אינטגרציה בחלקים

קחו שתי פונקציות - z (y) ו- x (y). הם חייבים להיות גזירה ברציפות על התחום שלה. באחד המאפיינים בידול יש לנו: D (xz) = xdz + zdx. שילוב שני הצדדים, אנחנו מקבלים: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

שכתוב המשוואה וכתוצאה מכך, אנו מקבלים את הנוסחה, אשר מתאר את השיטה של אינטגרציה בחלקים: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

למה זה נחוץ? העובדה כי חלק מן הדוגמאות אפשר לפשט, נניח, כדי להפחית ∫xdz ∫zdx, אם האחרון הוא קרוב בצורת טבלה. כמו כן, הנוסחה הזו יכולה לשמש יותר מפעם אחת, עבור תוצאות אופטימליות.

כיצד לפתור אינטגרל לא ככה:

• ^2s דואר צורך לחשב ∫ (s + 1) ds

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} S + 1, dz = DS, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = 2x דואר} ds} = ((s + 1) ^{2S e)} / 2-1 / 2 ∫e ^2s DX = ((s + 1) ^{2S e)} / 2-E ^2s / 4 + C;

• חייב לחשב ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, s = y, dy = ds} = slns - ∫s x DS / s = slns - s = + C -s slns = ∫ds (LNS-1) + ג

החלפת המשתנה

עיקרון זה של פתירת אינטגרל אינו פחות ביקוש מאשר בשנים הקודמות, למרות מסובך. השיטה היא כדלקמן: בואו V (x) - אינטגרל של כמה v פונקציה (x). במקרה כשלעצמו אינטגרלי דוגמא slozhnosochinenny מגיע, עשוי להתבלבל ולרדת פתרונות הנתיב הלא הנכונים. כדי למנוע שינוי נוהג זה מן x משתנית z, שבו הביטוי הכללי פשוט מבחינה ויזואלית, תוך שמירה על z תלוי x.

במונחים מתמטיים, זה הוא כדלקמן: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y "(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), כאשר x = y ( z) - החלפה. וגם, כמובן, את הפונקציה ההפוכה z = y ^-1 (x) מתאר באופן מלא את היחסים ואת הקשר של משתנים. הערה חשובה - את DX ההפרש החליף בהכרח עם dz ההפרש חדש, מאז השינוי של משתנה בלתי נפרד בלתי מוגבלת כרוך והחלפתו בכל מקום, לא רק מִסתַכֶּמֶת.

לדוגמה:

• חייבים למצוא ∫ (s + 1) / (ים ² + 2s - 5) ds

החל החלפה z = (s + 1) / (ים ² + 2s-5). ואז dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. כתוצאה מכך, את הביטוי הבא, שבו הוא מאוד קל לחשב:

∫ (s + 1) / (ים ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• אתה חייב למצוא את אינטגרלי ∫2 ^s e ^S DX

כדי לפתור את שכתוב בצורה הבאה:

^{e s ∫2 של ds = ∫ (} 2e) של ds.

נסמן על ידי = 2e (החלפת הטיעון צעד זה אינו, הוא עדיין ים), אנחנו נותנים שלנו לכאורה מסובכים אינטגרליים בצורת טבלה בסיסית:

^{∫ (2e) של ds = ∫a} של ds = a s / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = E ^s 2 ^s / ln (2 + LNE) + C = ^s 2 e ^s / (LN2 + 1) + ג

לסיכום סימן הפרש

באופן כללי, שיטה זו של אינטגרל לא אמיתי - אחיו התאום של עיקרון השינוי של משתנה, אבל יש הבדלים בתהליך של רישום. הבה נבחן ביתר פירוט.

אם ∫v (x) dx = V (x) + C ו- y = z (x), אז ∫v (y) dy = V (y) + ג

במקביל אסור לנו לשכוח את התמורות אינטגרלי טריוויאלי, ביניהם:

• DX = D (x + a), ואת שבה - כל מתמדת;
• DX = (1 / א) ד (ax + b), שבו - קבוע שוב, אבל לא אפס;
• xdx = 1 / 2D (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = D (sinx).

אם נבחן את המקרה הכללי שבו אנו לחשב את אינטגרלי בלתי מוגבלת, ניתן subsumed דוגמאות תחת הנוסחה הכללית w "(x) dx = DW (x).

דוגמאות:

• חייבים למצוא ∫ (2s + 3) ² DS, DS = 1 / 2D (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² ד (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (Coss) / Coss = -ln | Coss | + ג

עזרה מקוונת

בחלק מהמקרים, אשמת אשר יכול להיות או עצלות, או צורך דחוף, אתה יכול להשתמש את ההנחיות באינטרנט, או ליתר דיוק, כדי להשתמש במחשבון אינטגרל לא אמיתי. למרות המורכבות לכאורה והטבע במחלוקת של אינטגרלים, ההחלטה כפופה האלגוריתם הספציפי שלהם, אשר מבוסס על העיקרון של "אם לא ... אז ...".

כמובן, דוגמאות מורכבות במיוחד של מחשבון כזה לא לשלוט, שכן ישנם מקרים בהם החלטה יש למצוא "נאלץ" באופן מלאכותי על ידי החדרת אלמנטים מסוימים בתהליך, כי התוצאות הן הדרכים הברורות להגיע. למרות האופי השנוי במחלוקת של האמירה הזאת, זה נכון, כמו המתמטיקה, באופן עקרוני, מדע מופשט, ואת המטרה העיקרית שלה רואים את הצורך בהעצמת הגבולות. ואכן, עבור חלקה ריצה של תיאוריות קשה מאוד כדי לעלות ולהתפתח, ולכן אין להניח כי דוגמאות לפתרון אינטגרל לא אמיתי, אשר נתן לנו - זהו הגובה של הזדמנויות. אבל בחזרה אל הצד הטכני של הדברים. לפחות לבדוק את החישובים, אתה יכול להשתמש בשירות בה נכתב אלינו. אם יש צורך חישוב אוטומטי של ביטויים מורכבים, אז הם לא צריכים לנקוט תוכנה רצינית יותר. כדאי לשים לב בעיקר על הסביבה Matlab.

יישום

ההחלטה של אינטגרל לא אמיתי במבט ראשון נראה מנותק לחלוטין מהמציאות, משום שקשה לראות את השימוש הברור של המטוס. ואכן, ישירות ולהשתמש בהם בכל מקום שאתה לא יכול, אבל הם אלמנט ביניים הכרחי בתהליך של נסיגה של פתרונות המשמשים בפועל. לפיכך, שילוב של בידול בחזרה, ובכך להשתתף באופן פעיל בתהליך של פתרון משוואות.
בתורו, משוואות אלה יש השפעה ישירה על ההחלטה של בעיות מכאניות, חישוב מסלול מוליכות תרמית - בקיצור, כל מה שמהווה את ההווה בעיצוב העתיד. סתמיות אינטגרליות, דוגמאות אשר שקלנו לעיל, טריוויאלי רק במבט ראשון, כבסיס לביצוע עוד ועוד גילויים חדשים.