הפרדוקס של ראסל: מידע בסיסי, דוגמאות, ניסוח

ראסל הפרדוקס הוא שני האנטינומיה הגיוני תלויים זה בזה.

שתי צורות של הפרדוקס של ראסל

הצורה דנה הנפוץ ביותר של סתירה בסדרות היגיון. חלק הסט נראה החברים עצמם, ואחרים - לא. הסט של כל הקבוצות הוא עצם ערכה, כך נראה כי הוא מתייחס לעצמו. ריק או ריק, אולם, לא צריך להיות חבר של עצמו. לכן, את הסט של כל קבוצות, כמו אפס אינו נכלל לתוך עצמה. הפרדוקס מתעורר כאשר השאלה האם הסט של חבר עוצמה. זה אפשרי אם ורק אם הוא לא.

פרדוקס טופס נוסף הוא סתירה ביחס לנכסים. תכונות מסוימות, נראה להתייחס אל עצמם, בעוד שאחרים אינם. הנכס כדי להיות הנכס עצמו הוא נכס, בעוד הנכס יהיה זה חתול הוא לא. קח למשל את הרכוש של בעל נכס שאינו שייך לו. אם זה חל על עצמה? שוב, כל ההנחות צריכים להיות הפוך. הפרדוקס נקרא על שמו של ברטרנד ראסל (1872-1970), שגילו אותו בשנת 1901.

סיפור

פתיחה ראסל התרחשה במהלך עבודתו על "עקרונות המתמטיקה". למרות שהוא גילה את הפרדוקס באופן עצמאי, יש ראיות כי מתמטיקאים ומפתחים אחרים של תורת הקבוצות, כולל ארנסט צרמלו ואת דויד הילברט, היו מודעים הגרסה הראשונה של סתירות לפניו. ראסל, לעומת זאת, היה הראשון אשר נדון בפירוט הפרדוקס ביצירותיו שפורסמו, ניסה תחילה לגבש פתרונות והראשונים להעריך את משמעותו לחלוטין. פרק שלם של "עקרונות" הוקדש לדיון בסוגיה זו, ואת היישום הוקדש התאוריה של סוגים, אשר ראסל הציע כפתרון.

ראסל גילה "הפרדוקס של השקרן", שוקל תורת הקבוצות של החזן שאומרת כי הכח של כל קבוצה הוא קטן מהמערך של תת שלה. לפחות בתחום צריך להיות תת רבים ככל ישנם אלמנטים בתוכו, אם משנה אחת של כל רכיב מוגדר המכיל רק את האלמנט הזה. יתר על כן, החזן הוכיח כי מספר האלמנטים לא יכול להיות שווה למספר תת. אם היה אותו מספר, זה היה צריך להתקיים ƒ תכונה אשר תציג אלמנטים על תת שלהם. במקביל ניתן להוכיח כי זה בלתי אפשרי. פריטים מסוימים עשויים להיות מוצגים על ƒ תת תפקוד המכילים אותם, בעוד אחרים לא.

קח למשל את קבוצת המשנה של אלמנטים שאינם שייך התמונות שלהם, שבו הם מציגים ƒ. זה כשלעצמו משנה של אלמנטים, ולכן, ƒ פונקציה תציג אותו על אלמנט בתחום. הבעיה היא כי אז נשאלת השאלה, האם מרכיב זה שייך משנה עד אשר הוא מציג ƒ. זה אפשרי רק אם זה לא שייך. הפרדוקס של ראסל ניתן לראות כדוגמה את אותו קו מחשבה, פשוט רק. מה יותר - סטים או תת של הסט? נראה כי לא צריך להיות יותר סטים, כמו כל תת של הסטים עצמם. אבל אם משפט קנטור נכון, אז לא אמורה להיות תת יותר. ראסל נחשב פשוט להציג סטים על עצמם ועל יישמו גישה kantoriansky בהתחשב הסט של כל האלמנטים האלה, מחוץ סט שבו הם מוצגים. ראסל מציג הופך את הסט של כל הקבוצות, שאינו.

שגיאת פרגה

"הפרדוקס של השקרן" הייתה השפעה עמוקה על התפתחות היסטורית של תורת הקבוצות. הוא הראה כי הרעיון של הסט האוניברסלי הוא בעייתי ביותר. הוא גם הטיל את הרעיון כי לכל מצב מוגדר או נשוא יכול להניח את קיומו של ריבוי רק את הדברים האלה כי למלא תנאי זה. פרדוקס אופציה לגבי הנכסים - רחבה טבעית של סטי הגרסה - העלה ספקות רציניים באשר לשאלה האם אפשר להתווכח על קיומו האובייקטיבי של נכס או קונפורמיות אוניוורסלי לכל נקבע לפי המצב, או נשוא.

בקרוב הסתירות והבעיות בעבודה של הלוגיקנים נמצאו, פילוסופים ומתמטיקאים שתרמו הנחות דומות. בשנת 1902, ראסל גילה כי גרסה של הפרדוקס יכול לבוא לידי ביטוי במערכת לוגית, שפותחה לי נפח של "יסודות האריתמטיקה" של גוטלוב פרגה, אחת היצירות העיקריות על ההיגיון של XIX המנוח - במאה עשרים מוקדמת. בשנת הפילוסופיה של פרגה רב הבין כמושג "רחבה" או "ערך לטווח". המושגים הם הקרובים לאלה של וקושרת. הם צפויים להתקיים עבור כל תנאי או נשוא נתונים. לפיכך, יש מושג של סט, אשר אינו נופל תחת הקונספט המגדיר שלה. יש גם מעמד המוגדר על ידי המושג הזה, וזה בכפוף להגדרת המושג שלו רק אם הוא לא.

ראסל כתב פרגה על הסכסוך הזה ביוני 1902 התכתבות הפכה אחד המרגש ביותר דבר על ההיסטוריה של היגיון. פרגה זיהה מיד את התוצאות ההרסניות של הפרדוקס. הוא ציין, עם זאת, כי הגרסה של המחלוקת לגבי נכסי הפילוסופיה שלו הייתה נפתרת על ידי הבחנה בין המושגים של רמות.

הרעיון של פרגה להבין את המעבר מן הטיעונים של הפונקציה ל- TRUE. המושגים ברמה הראשונה לוקחים כטיעוני האובייקטים של מושגים ברמה השניים לקחת כטיעונים לפונקציות אלה, וכן הלאה. לפיכך, המושג לא יכול לקחת את עצמו בתור ויכוח, ואת הפרדוקס במונחים של נכסים לא ניתן לנסח. אף על פי כן סטים, הרחבה או מושגים פרגה הבין כמתייחס לאותו סוג הגיוני כמו זה של כל שאר האובייקטים. אז לכל קבוצה יש שאלה אם זה נופל תחת הקונספט של הגדרה אותו.

כאשר פרגה, ראסל קיבל את המכתב הראשון, בכרך השני של "יסודות האריתמטיקה" כבר נגמר בדפוס. הוא נאלץ להכין בקשה במהירות שנותנת מענה הפרדוקס של ראסל. דוגמאות פרגה הכיל מספר פתרונות אפשריים. אבל הוא הגיע למסקנה להחליש את הרעיון של מערכת הפשטה במערכת לוגית.

במקור, ניתן היה להסיק כי החפץ שייך לסט אם ורק אם הוא נופל בתוך המושג, מגדיר אותו. המערכת המתוקנת יכולה רק להסיק כי החפץ שייכת לסט אם ורק אם הוא נופל בתוך הרעיון של הגדרת ריבוי, אך לא קבע מדובר. הפרדוקס של ראסל מתעורר.

הפתרון, לעומת זאת, הוא לא לגמרי מרוצה פרגה. וזה היה הסיבה. כמה שנים מאוחר יותר, עוד צורה מורכבת של הסתירה כבר מצאה את המערכת המתוקנת. אבל עוד לפני שזה קרה, פרגה הנטוש החלטותיו נראה למסקנה כי הגישה שלו הייתה ישימה פשוט, וכי ההיגיון יצטרך לעשות בלי שום של הסטים.

אחרים עדיין הוצעו, יחסית יותר פתרונות חלופיים מוצלחים. אלה נדון להלן.

התאוריה של סוגים

צוין לעיל כי פרגה היה מענה הולם הפרדוקסים של תורת הקבוצות בגרסה גיבש עבור נכסים. תגובת פרגה קדמה הפתרון דן הנפוץ ביותר לצורה זו של פרדוקס. היא מבוססת על העובדה כי הנכסים כפופים סוגים שונים ואיזה סוג של נכס הוא אף פעם לא זהה הפריטים שאליו היא מתייחסת.

לפיכך, אפילו לא עולה השאלה, האם הנכס הנו ישים עצמו. שפה לוגית, אשר מפרידה בין אלמנטים של היררכיה כזו, באמצעות התיאוריה של סוגים. למרות שזה כבר נמצא בשימוש על ידי פרגה, לראשונה זה מוסבר במלואו תימוכין ראסל בנספח "עקרון". התאוריה של סוגים הייתה שלמה יותר את ההבחנה של רמות פרגה. היא משותפת מאפיינים הם לא רק סוגים שונים של היגיון, אלא גם להגדיר. הקלד תאוריה ליישב את הסתירה את הפרדוקס של ראסל כדלקמן.

כדי להיות נאותה פילוסופית, אימוץ התיאוריה של סוגי נכסים מחייב פיתוח של התיאוריה של וטבעם של הנכסים, כך יכול להסביר למה הם לא יכולים להיות מיושמים על עצמם. במבט ראשון, זה הגיוני לבסס נכס משלהם. המאפיין של להיות זהות עצמית, זה היה נראה, זה גם זהות עצמית. הנכס נראה מהנה נחמד. באותו אופן, ככל הנראה, נראה שקר לומר כי הנכס להיות חתול הוא חתול.

אף על פי כן, הוגים שונים מוצדקת חלוקת סוגים שונים. ראסל אפילו נתן הסברים שונים בזמנים שונים בקריירה שלו. מצד, את רציונל ההפרדה של המושגים השונים של רמות פרג מגיע התאוריה שלו של מושגים בלתי רוויים. מושגים כמו פונקציה, במהותה, אינם שלמים. כדי לספק ערך, הם צריכים ויכוח. אתה לא יכול סתם רעיון אחד אפשר לחזות את המושג מאותו הסוג, כי זה עדיין דורש הטיעון שלה. לדוגמא, אם כי אפשר לקחת את השורש הריבועי של השורש הריבועי של מספר, אתה לא יכול פשוט להשתמש בפונקצית שורש ריבועים לפונקצית שורש הריבועים ולהשיג תוצאה טובה.

אודות מאפייני שמרנות

עוד פתרון אפשרי הוא קיומו שלילת תכונות מאפייני פרדוקס בכל תנאים נתונים, או נשוא בנוי היטב. כמובן, אם מישהו נמנע מאפיינים מטפיזיים של שני אלמנטים אובייקטיביים ובלתי תלויים בכללותו, אם ניקח פרדוקס הנומינאליזם ניתן להימנע לחלוטין.

עם זאת, כדי לפתור את האנטינומיה לא צריך להיות כל כך קיצוני. מערכות לוגיקה מסדר גבוה פתחו פרגה וראסל, המכילות מה שנקרא עיקרון מושגית, לפיה כל נוסחות פתוחות לא משנה כמה מורכבים קיים כחלק נכס או קונספט למשל, פריטים אלה רק התואמים את הנוסחא. הם להחיל את התכונות של כל קבוצה אפשרית של תנאי או ונשואים, ולא משנה עד כמה מורכב שהם היו.

אף על פי כן, ניתן היה לקחת מאפייני המטאפיסיקה קפדניים יותר, המקנה זכות קיומו האובייקטיבי של תכונות פשוטות, כולל, למשל, כגון צבע אדום, נחישות, חסד וכן הלאה. ד אתה יכול אפילו לתת תכונות אלה חלים על עצמם, כגון חסד יכול להיות סוג.

ובכל מעמד זהה עבור תכונות מורכבות אפשר להכחיש, למשל, כגון "מאפיינים" כבעל שבע עשרה ראשים, להיות כתוב תחת מים וכיוצא באלה. ד במקרה זה, אין מצב קבוע מראש אינה עומדת רכוש, להבין בנפרד קיים אלמנט, אשר יש מאפיינים משלה. לכן אחד לא יכול להכחיש את קיומם של מאפיינים פשוטים להיות-רכוש-כי-לא-מיושם ל-עצמי ולהימנע פרדוקס על ידי יישום מאפיינים מטפיזיים שמרניים יותר.

הפרדוקס של ראסל: הפתרון

מעל צוין כי בסוף חייו פרגה נטש לחלוטין את ההיגיון של סטים. , זה כמובן, פתרון אחד האנטינומיה בצורת סטים: הכחשה פשוטה לקיומו של אלמנטים כגון כולה. בנוסף, קיימות אפשרויות פופולריות אחרות, את היסודות מהם מוצגים להלן.

התיאוריה עבור סוגים רבים של

כפי שהוזכר קודם לכן, ראסל שיחק עבור תיאוריה שלמה יותר של סוגים, אשר יישאו כעת לא רק את המאפיינים או מושגים לסוגים שונים, אלא גם להגדיר. ראסל ערכה משותפת על ריבוי של יחידות נפרדות, ריבוי של קבוצות של אובייקטים נפרדים, וכו 'סטים של חפצים לא נחשבו, וכן ריבוי של קבוצות - .. סטים. הרבה לא נהנו סוג, מאפשר לך כחבר עצמה. לכן אין סט של כל הקבוצות שאינן חברות משלה, כי לכל קבוצה של שאלות לגבי אם זה כחבר, הוא עצם סוג פרה. שוב, הבעיה כאן היא להסביר את הסטים המטאפיסיקה להסביר את היסודות הפילוסופיים של חלוקת סוגים.

רִבּוּד

בשנת 1937, ו 'ו' Kuayn הציע פתרון חלופי, באופן דומה לתיאוריה של סוגים. מידע בסיסי על זה הוא.

הפרדת מרכיב סטים ואחרים. בהתחשב בכך ההנחה של מציאת ריבוי תמיד שגויה או חסר משמעות. מערכים יכולים להינתן רק בעת הגדרת התנאים שלהם הם לא סוג פרה. לפיכך, עבור קוויין, הביטוי "x אינו חבר של x" היא האמירה המשמעותית אינו מעיד על קיומו של הסט של כל x אלמנטי סיפוק תנאי זה.

במערכת זו קבוצה קיימת כבר כמה נוסחא פתוחה אם ורק אם היא מרובדת, t. E. אם משתנה מוקצה מספרים שלמים חיוביים כך עבור כל מופע אופייני ריבוי שקדם משתנה זה מוקצה יחידת הקצאה קטנה יותר משתנה, הבאים אחריו. בלוקים זה הפרדוקס של ראסל, מאז הנוסחה המשמשת לקביעת סט בעיה, יש את אותה לפני ואחרי הסימן החברות משתנה שהופך אותו unstratified.

אבל זה עדיין לקבוע האם המערכת וכתוצאה מכך, אשר קוויין שנקרא "יסודות חדשים של הלוגיקה המתמטית" עקבית.

דחייה

גישה אחרת לחלוטין נלקחת בתיאוריה של צרמלו - פרנקל (ZF). גם כאן, להגדיר מגבלה על קיומו של סטים. במקום זה, הגיש את "מלמעלה למטה" של ראסל פרגה, אשר בתחילה חשב כי עבור כל המושגים, התכונות, או התנאים עשויים לרמז על קיומו של הסט של כל הדברים עם נכס זה או לקיים תנאי כזה, ב ZF-התאוריה, מתחיל הכל "מלמטה למעלה".

אלמנטים בודדים של ריק קובע ויוצרים סט. לכן, בניגוד למערכות קודמות וראסל פרגה FIT לא שייך לסט האוניברסלי הכולל את כל אלמנטים ואפילו כל הסטים. ZF קובעת מגבלות חמורות על קיומו של סטים. יכול להתקיים רק אלה שעבורם הוא הניח בבירור או אשר ניתן לנסח באמצעות תהליכים איטרטיבי וכדומה. ד

ואז, במקום ההגדרה הנאיבית הפשטת הרעיון הקובע כי מרכיב מסוים כלול בערכה אם ורק אם הוא עונה על תנאי עיקרון ההפרדה בשימוש DF, פרדה או "מיון". במקום להניח את קיומו של הסט של כל האלמנטים שהם ללא יוצא מן הכלל עמיד בתנאי מסוים, עבור כל קבוצה קיימת Aussonderung מלמדת על קיומו של תת קבוצה של כל הרכיבים בערכה המקורית אשר עונה על התנאי.

ואז מגיע עיקרון הפשטה: אם קבוצה קיימת, אם כן, עבור כל x ב- A, x שייך לתת-קבוצה, אשר עונה על התנאי אם ורק אם x עונה על התנאי ג גישה זו פותרת את פרדוקס ראסל, מאז אנחנו לא יכולים פשוט להניח כלומר, הערכה של כל הקבוצות שאינן חברים עצמם.

לאחר הרבה סטים, אתה יכול לבחור או לחלק אותו סטים, אשר הם בעצמם, ואת אלה שאינם כאלה, אבל מאחר ואין סט אוניוורסלי לא מחויבים אנו קבוצה של כל הקבוצות. מבלי להניח את הבעיה קובע סתירה ראסל אינו ניתן להוכחה.

פתרונות אחרים

בנוסף, היו הרחבות עוקבות או התאמות של פתרונות אלה, כגון תיאוריה מזלג-סוג של "עקרונות המתמטיקה" הרחבת מערכת "לוגיקה מתמטית" קוויין, כמו גם ההתפתחויות האחרונות יותר בתיאוריה של סטים, עשה ברנייס, גדל ו פון נוימן. השאלה אם התגובה לפרדוקס המסיס ברטרנד ראסל נמצאת, הוא עדיין עניין של ויכוח.