השערת רימן. הפצה של מספרים ראשוניים

בשנת 1900, אחד המדענים הגדולים של המאה שעברה, דייויד הילברט הכין רשימה המורכבת 23 בעיות בלתי פתורות של מתמטיקה. עבודה על אותם הייתה השפעה עצומה על ההתפתחות בתחום זה של ידע אנושי. אחרי 100 שנים במכון המתמטי קליי הציג רשימה של שבע בעיות, המכונות יעדי המילניום. לקבלת ההחלטה של כל אחד מהם הוצע פרס של 1 מיליון $.

הבעיה היחידה, אשר הייתה בין שתי הרשימות של חידות, במשך מאות שנים לא נתנו מנוחה למדענים, הפכה השערת רימן. היא עדיין מחכה להחלטה שלו.

מידע ביוגרפי קצר

גיאורג פרידריך ברנרד רימן נולד ב 1826 בהאנובר, במשפחה גדולה של כומר עני, וחי רק בן 39 שנים. הוא הצליח לפרסם 10 ניירות. עם זאת, במהלך חייו של רימן הוא נחשב ליורש של המורה שלו יוהן גאוס. בשעה 25 שנים מדען צעיר מוגן הגמר שלו "יסודות התיאוריה של פונקציות מורכבות משתנה." מאוחר יותר הוא גיבש ההשערה שלו, אשר התפרסם.

מספרים ראשוניים

המתמטיקה הגיעה כאשר האדם למד לספור. ואז התעורר הרעיון הראשון של המספרים, אשר לאחר מכן ניסו לסווג. זה נצפה כי כמה מהם יש תכונות משותפות. בפרט, בקרב מ המספרים הטבעיים. E. אלה אשר שימשו בחישוב (מספור) או מה מספרה של פריטים הוקצה קבוצה של כאלה אשר מחולקים רק על ידי אחד עצמם. הם נקראו פשוט. הוכחה אלגנטית של סט המשפט האינסופי של מספרים שניתן על ידי אוקלידס "האלמנטים" שלו. כרגע, אנחנו ממשיכים בחיפושיהם. בפרט, הגדול מבין מספר הידוע ² 74207281 - 1.

נוסחת אוילר

יחד עם הרעיון של מספרים ראשוניים רבים לאין שיעור אוקלידס מוגדר והמשפט השני הפרוק האפשרי רק. על פי אותו כל מספר שלם חיובי הוא התוצר של רק סט אחד של מספרים ראשוניים. בשנת 1737, המתמטיקאי הגרמני הגדול לאונרד אוילר הביע ראשון של המשפט של אוקלידס על האינסוף של הנוסחא שמוצגת להלן.

זה נקרא פונקציית זטא, שבו ים - קבוע ו- p הוא כל הערכים פשוט. ממנו ישירות בעקבות אישור של ייחודו של הרחבת אוקלידס.

פונקציית רימן zeta

נוסחת אוילר במבט מקרוב הוא די מדהים, כפי שנמסר על ידי היחס בין פשוט מספרים שלמים. אחרי הכל, בצד השמאל שלה מוכפלים אינסוף ביטויים תלויים רק פשוט, וגם את הכמות הנכונה קשור כל המספרים השלמים החיוביים.

רימן המשיך אוילר. כדי למצוא את המפתח לבעיית חלוקת המספרים, מוצע להגדיר את הנוסחא היא ממש משתנה ומורכב. היא היתה זו אשר מאוחר יותר נודעו בשם פונקציית רימן zeta. בשנת 1859 המדען פרסם מאמר תחת הכותרת "על מספר מספרים ראשוניים כי לא יעלה על ערך קבוע מראש", אשר סיכם את כל הרעיונות שלהם.

רימן הציע את השימוש של מספר אוילר, מתכנס לכל שאמיתי> 1. אם באותה הנוסחא משמשת ימים מורכבים, אז הסדרה תתכנס עבור כל ערך של המשתנה עם החלק האמיתי הוא גדול מ 1. רימן השתמש ההמשכה אנליטית של ההליך על ידי הרחבת ההגדרה של זטה (ות) עבור כל המספרים המרוכבים, אבל "לזרוק" יחיד. זה לא היה אפשרי, כי אם s = 1 מגדילה zeta פונקציה עד אינסוף.

במובן המעשי

נשאלת השאלה: מה היא zeta פונקציה מעניינת וחשובה, אשר חיונית בעבודת רימן על השערת האפס? כפי שאתם יודעים, כרגע לא נמצאים דפוס פשוט המתאר את חלוקת מספרים ראשוניים בקרב טבעי. רימן מסוגל לזהות כי מספר pi (x) של מספרים ראשוניים, אשר אינם עדיפים על x, מתבטא בחלוקת פונקציה אפס זטא טריוויאלי. יתר על כן, ההשערה של רימן הוא תנאי הכרחי על מנת להוכיח הערכות זמניות של אלגוריתמי הצפנה מסוימים.

השערת רימן

אחד הניסוחים הראשונים של בעיה מתמטית זו, לא הוכח עד היום, הוא: zeta פונקציה 0 טריוויאלי - מספרים מרוכבים עם אמיתי חלק שווה ½. במילים אחרות, הם מסודרים על קו ישר ½ = s הנדון.

יש גם השערת רימן כללית, המהווה את אותו משפט, אבל להכליל את זטה-פונקציות, אשר נקראים דיריכלה (ראה. להלן תמונה) L-פונקציות.

בנוסחא χ (n) - דמות מספרית (k mod).

אמירתו של רימן היא ההשערה שנקראת null, כפי אומת על עקביות עם נתוני מדגם הקיימים.

כפי שטענתי רימן

מתמטיקאי הערה גרמני גובש במקור אגב-אורחא. העובדה היא כי בשלב זה המדען הולך להוכיח משפט על חלוקת מספרים ראשוניים, ובהקשר זה, שערה זו אין השפעה רבה. עם זאת, תפקידה בהתייחסות לנושאים רבים אחרים הוא עצום. לכן השערת רימן לעת עתה מדענים רבים המכירים החשובים של בעיות מתמטיות מוכחות.

כפי שכבר נאמר, כדי להוכיח את המשפט על ההפצה של ההשערה המלאה רימן אינו הכרחי, ואת די הגיוני להוכיח כי החלק האמיתי של כל הלא טריוויאלי אפס של פונקצית zeta הוא בין 0 ל -1 מאפיין זה מרמז כי הסכום כל 0-מ ' zeta פונקציה המופיעים הנוסחה המדויקת לעיל, - קבוע סופי. עבור ערכים גדולים של x, שהוא יכול כל ייאבד. החבר היחיד של הנוסחה, אשר תישאר ללא שינוי גם ב x גבוה מאוד, x הוא עצמו. שאר התנאים המורכבים בהשוואה לזה להיעלם asymptotically. לפיכך, הסכום המשוקלל נוטה x. יכול להיחשב למעשה זה כהוכחה לאמיתות משפט מספר ראשוני. לפיכך, האפסים של פונקציית רימן zeta מופיעים תפקיד מיוחד. זה להוכיח כי ערכים אלה לא יכולים לתרום באופן משמעותי את הנוסחה הרחבה.

חסידיו רימן

מותו הטראגי משחפת מנע המדען להביא לסוף הלוגי של התוכנית. עם זאת, הוא לקח את השרביט W-F. de la Vallée פוסן ואת Zhak Adamar. תלוי זה בזה והם נסוגו מספר ראש משפט. הדמר ואת פוסן הצליחו להוכיח כי כל פונקצית 0 זטא טריוויאלי ממוקמת בתוך הלהקה הביקורתית.

תודה על העבודה של מדענים אלה, סניף חדש של המתמטיקה - התיאוריה האנליטית של מספרים. מאוחר יותר, חוקרים אחרים קבלו הוכחה קטנה פרימיטיבית יותר של המשפט עבד ברומא. בפרט, פאל Erdös ו אטלה סלברג נפתחו אפילו המאשר שרשרת המורכבת ביותר של היגיון, לא דורש שימוש בניתוח מורכב. עם זאת, בשלב זה הרעיון של רימן על ידי משפטים חשובים הוכחו, כולל קירוב של פונקציות רבות של תורת המספרים. בקשר עם עבודה חדשה זו ארדש ו אטלה סלברג כמעט כלום לא השפיע.

אחת הראיות הפשוטות והיפות ביותר של הבעיה נמצא ב 1980 על ידי דונלד ניומן. היא התבססה על משפט הקושי הידוע.

איים אם ההשערה של רימן היא הבסיס של קריפטוגרפיה מודרנית

הצפנת נתונים יצא עם הופעת הדמויות, או ליתר דיוק, הם עצמם עלולים להיחשב הקוד הראשון. כרגע, קיימת מגמה חדשה לגמרי של קריפטוגרפיה דיגיטלי, אשר עוסק בפיתוח אלגוריתמים של הצפנה.

פשוט "semisimple" מספר מ '. E. אלה שמתחלקים רק לשתי מספרים אחרים מאותו הסוג, הם הבסיס של מערכת מפתח ציבורית, המכונית RSA. יש לה יישום רחב. בפרט, הוא משמש בדור של חתימה אלקטרונית. אם אנחנו מדברים במונחים של זמין "טיון", רימן השערה טוענת לקיומה של המערכת בחלוקת מספרים ראשוניים. לפיכך, מופחת התנגדות משמעותית של מפתחות הצפנה, שעליו תלוי את שלומם של עסקאות מקוונות בתחום המסחר האלקטרוני.

בעיות מתמטיות פתורות אחרות

קראו את כל המאמר כדאי להקדיש כמה מילים משימות אחרות של המילניום. אלה כוללים:

• שוויון של כיתות P ו- NP. הבעיה מנוסחת כדלקמן: אם תשובה חיובית לשאלת נתונה מאומתת בזמן פולינומי, אז זה נכון שהוא עצם את התשובה לשאלה זו ניתן למצוא במהירות?
• שערה הודג. במילים פשוטות ניתן לומר כדלקמן: עבור סוגים מסוימים של סעפות אלגבריים השלכתית (רווחים) מחזורי הודג הם שילובים של אובייקטים שיש להם פרשנות גיאומטרי, מחזורים אלגבריים כלומר ...
• השערת פואנקרה. זהו רק הוכיחו את בעיות המילניום רגע. על פי אותו כל אובייקט תלת ממדי בעל מאפיינים ספציפיים של הכדור 3-ממדי, בתחום חייב להיות מדויק כדי עיוות.
• אישור הקוונטים יאנג - התיאוריה מילס. אנחנו צריכים להוכיח כי תורת הקוונטים, שהועלו על ידי מדענים אלה אל R שטח ^4, קיים פגם 0-מסה לכל כיול פשוט של קבוצה קומפקטית G.
• ההשערה של ליבנה - Swinnerton-דיאר. זוהי בעיה נוספת שרלוונטית קריפטוגרפיה. היא נוגעת עקומות אליפטיות.
• הבעיה של הקיום והחלק של פתרונות של Navier - משוואות סטוקס.

עכשיו אתם יודעים את השערת רימן. במילים פשוטות, גיבשנו וחלק במטרות אחרות של המילניום. העובדה שהם ייפתרו או אם הוכח כי אין להם פתרון - זה עניין של זמן. וזה לא סביר שיהיה צורך להמתין זמן רב מדי, כמו מתמטיקה ויותר באמצעות כוח החישוב של מחשבים. עם זאת, לא הכל בכפוף לאמנות לפתור בעיות מדעיות בעיקר דורש אינטואיציה ויצירתיות.