מושגי יסוד של תורת ההסתברות. החוקים של תורת ההסתברות

אנשים רבים, כאשר הוא מתמודד עם הרעיון של "תורת ההסתברות", הפחיד, לחשוב שזה משהו בלתי נסבל, קשה מאוד. אבל זה בעצם לא כל כך טרגי. היום נבחן את מושגי היסוד של תורת ההסתברות, ללמוד כיצד לפתור בעיות באמצעות דוגמאות קונקרטיות.

מדע

מה לומדת ענף של המתמטיקה כמו "תורת ההסתברות"? זה מציין דפוסים של אירועים אקראיים ומשתנים. בפעם הראשונה הנושא המדענים המודאגים במאה השמונה עשרה, כאשר למד הימורים. מושגי יסוד של תורת ההסתברות - אירוע. זה כל כך נאמר על ידי ניסיון או תצפית. אבל מה הוא ניסיון? רעיון בסיסי נוסף של תורת ההסתברות. זה אומר שחלק זה של הנסיבות אינם נוצר בטעות, ועם מטרה. לגבי מעקב, יש את החוקר עצמו אינו משתתף בחוויה, אבל פשוט עד לאירועים אלה, אין לה כל השפעה על מה שקורה.

אירועים

למדנו כי המושג הבסיסי של תורת הסתברות - האירוע, אבל לא רואה סיווג. כולם מחולקים לקטגוריות הבאות:

• אמין.
• Impossible.
• אקראי.

לא משנה מה האירוע הוא, אשר הוא שמסתכל או שנוצרו במהלך הניסוי, הם מושפעים סיווג זה. אנו מציעים כל סוג של נפגשים בנפרד.

אירוע מסוים

זוהי עובדה שכבר להפוך את הסט ההכרחי של פעילויות. כדי להבין את המהות טוב יותר, עדיף לתת כמה דוגמאות. זהו כפופים לחוק הפיזיקה, כימיה, כלכלה, מתמטיקה גבוהה. תורת ההסתברות כוללת מושג חשוב כגון אירוע משמעותי. הנה כמה דוגמאות:

• אנחנו עובדים ומקבלים שכר בצורת השכר.
• ובכן עבר את הבחינות, העביר תחרות עבורו לקבל גמול בצורת הקבלה במוסד חינוכי.
• השקענו כסף בבנק, לחזור בהם במידת הצורך.

אירועים כאלה הם אמיתיים. אם לנו מילא את כל התנאים הדרושים, הקפד לקבל את התוצאה המקווה.

אירוע בלתי אפשרי

עכשיו אנחנו רואים את האלמנטים של תורת ההסתברות. אנו מציעים ללכת הבהרות הסוגים הבאים של אירועים - כלומר את הבלתי אפשרי. כדי להתחיל לקבוע את הכלל החשוב ביותר - ההסתברות של אירוע בלתי אפשרי היא אפס.

מתוך הניסוח הזה לא יכול לחרוג בפתרון בעיות. כדי להמחיש דוגמאות של אירועים כאלה:

• מים קפוא בטמפרטורה של פלוס עשר (זה בלתי אפשרי).
• המחסור בחשמל אינו משפיע על הייצור (בלתי אפשרי כמו בדוגמה הקודמת).

דוגמאות נוספות ניתנים אינן הכרחיות, כפי שתוארו לעיל ברור מאוד לשקף את המהות של קטגוריה זו. אירוע בלתי אפשרי לעולם לא יקרה במהלך הניסוי בשום פנים ואופן.

אירועים אקראיים

על ידי לימוד היסודות של תורת הסתברות, תשומת לב מיוחדת צריכה להיות משולם על הסוג של אירוע הנתון. אלה הם לומדים מדע זה. כתוצאה מהחוויה של משהו שיכול לקרות או לא. בנוסף, במבחן מספר בלתי מוגבל של פעמים יכול להתבצע. דוגמאות בולטות כוללות:

• מקפיץ את המטבע - מדובר בחוויה, או מבחן, אובדן נשר - את האירוע הזה.
• משיכת הכדור מהשקית עיוורת - מבחן, נתפס כדור אדום - אירוע זה וכן הלאה.

דוגמאות כאלה יכולות להיות מספר בלתי מוגבל, אבל, באופן כללי, יש להבין. כדי לסכם לשיטת הידע שנרכש על אירועי שולחן. מחקרים תורת ההסתברות רק הסוג השני של כל המוצגים.

חוקי

תורת ההסתברות - מדע החוקר את האפשרות של אובדן כל אירוע. כמו האחרים, יש לו כללים מסוימים. החוקים הבאים של תורת ההסתברות:

• ההתכנסות של רצפים של משתנים אקראיים.
• חוק המספרים הגדולים.

בעת חישוב האפשרות של קומפלקס יכול לשמש אירועים פשוטים מורכבים כדי להשיג תוצאות קלות ומהירות דרך. יצוין כי החוקים של תורת ההסתברות ניתן להוכיח בקלות בעזרת כמה משפטים. אנו ממליצים להתחיל להכיר את החוק הראשון.

ההתכנסות של רצפים של משתנים מקריים

שים לב ההתכנסות של מספר סוגים:

• הרצף של משתנים אקראיים התכנסות בהסתברות.
• כמעט בלתי אפשרי.
• התכנסות RMS.
• התכנסות בהפצה.

אז, תוך כדי תנועה, קשה מאוד לתפוס את המהות. הנה הגדרות שיסייעו להבין את הנושא. כדי להתחיל עם המראה הראשון. הרצף נקרא התכנסות בהסתברות, אם התנאי הבא: n גישות אינסוף, המספר בקש ידי הרצף הוא גדול מאפס וקרוב היחיד.

עבור לתצוגה הבאה, כמעט בודאות. הם אומרים כי הרצף מתכנס כמעט לבטח למשתנה אקראית עם n נוטה לאינסוף, ו- R, הנוטה ערך קרוב אחדות.

הסוג הבא - התכנסות של RMS. בעת שימוש ההתכנסות למידה-SC של תהליכים אקראיים וקטור מפחית לחקר תהליכים לתאם אקראיים.

היה הסוג האחרון, בואו נסתכל לרגע וכדי לעבור ישירות לפתרון בעיות. יש התכנסות בחלוקת שם אחר - "חלש", ואז להסביר מדוע. התכנסות חלשה - היא ההתכנסות של פונקציות ההפצה בכלל הנקודות של המשכיות של פונקציית התפלגות גבול.

הקפד לשמור את ההבטחה: התכנסות חלשה שונה מכל האמור לעיל כי המשתנה האקראי אינו מוגדר על מרחב הסתברות. זה אפשרי בגלל המצב נוצר באמצעות פונקציות הפצה באופן בלעדי.

חוק המספרים הגדולים

עוזר גדול ההוכחה של החוק יהיה משפטי של תורת הסתברות, כגון:

• שוויון צ'ביצ'ב.
• משפט צ'ביצ'ב.
• Generalized משפט צ'ביצ'ב.
• משפט מרקוב.

אם ניקח בחשבון את כל התיאוריות הללו, אז הבעיה עלולה להימשך מספר עשרות גיליונות. יש לנו את המשימה העיקרית - הוא היישום של תורת ההסתברות בפועל. אנו מציעים לכם עכשיו ולעשות את זה. אבל לפני שאנחנו רואים את האקסיומות של תורת ההסתברות, הם שותפים מרכזיים בפתרון בעיות.

האקסיומות

מהרגע הראשון, כבר ראינו, כאשר מדברים על אירוע בלתי אפשרי. הבה נזכור: ההסתברות של אירוע בלתי אפשרי היא אפס. דוגמה נתנו מאוד חי ובלתי נשכח: השלג נפל בבית צלזיוס טמפרטורת האוויר שלושים מעלות.

השני הוא כדלקמן: אירוע מסוים מתרחש עם אחדות הסתברות. עכשיו אנחנו נראה איך זה כתוב בעזרת שפה מתמטית: P (B) = 1.

שלישי: אירוע אקראי עלול לקרות או לא, אבל האפשרות תמיד להשתנות מאפס עד אחד. ככל שהיא היא אחדות, כך גדל הסיכוי; אם הערך הוא קרוב לאפס, ההסתברות היא נמוכה מאוד. אנחנו כותבים את זה בשפה מתמטית: 0

קח למשל את האקסיומה האחרונה, הרביעית, כלומר: הסכום של ההסתברות של שני אירועים שווה סכום ההסתברויות שלהם. כתוב במונחים מתמטיים: P (A + B) = P (A) + P (B).

האקסיומות של תורת ההסתברות - זהו כלל פשוט כי לא יהיה קשה לזכור. בואו ננסה לפתור כמה בעיות, המבוססות על ידע שכבר נרכש.

כרטיס לוטו

ראשית, לשקול את הדוגמה הפשוטה ביותר - הגרלה. תאר לעצמך שאתה שקנה כרטיס הגרלה למזל טוב. מה ההסתברות כי אתה תנצח לפחות עשרים רובל? תפוצה הכוללת מעורבת אלף כרטיסים, אחד מהם יש פרס של חמישה מאה רובל, עשרה מאה רובלים, עשרים וחמישים רובלים, ואת למאה - חמש. המשימה של תורת ההסתברות מבוססת על איך למצוא דרך מזל. עכשיו ביחד אנחנו מנתחים את ההחלטה מעל תצוגת המשימות.

אם נסמן על ידי פרס של חמישה מאה רובל, אז ההסתברות של A שווה 0.001. איך מגיעים? צריך רק את מספר הכרטיסים "מזל" מחולק במספר הכולל (במקרה זה: 1/1000).

בשנת - רווח של מאה רובל, ההסתברות תהיה שווה 0.01. עכשיו פעלנו באותו אופן כמו הפעולה האחרונה (10/1000)

C - התמורה היא עשרים רובל. מצא את ההסתברות, זה שווה 0.05.

שאר הכרטיסים אינם מעוניינים, כמו הפרס הכספי שלהם הוא פחות מ שצוין במצב. החלת אקסיומה רביעית: ההסתברות לזכות לפחות עשרים רובל היא P (A) + P (B) + P (C). המכתב P מציין את ההסתברות ממוצא של האירוע, אנחנו בשלבים הקודמים כבר מצאנו אותם. נותר רק להניח את הנתונים הדרושים, התגובה שאנו מקבלים 0.061. מספר זה יהיה התשובה לשאלת עבודות.

חפיסת קלפים

בעיות על תורת ההסתברות, יש גם יותר מורכבים, למשל, לקחת את התפקיד הבא. לפני הסיפון לך רשימה של שלושים ושישה קלפים. המשימה שלך - כדי לצייר שני כרטיסים ברציפות, ללא ערבוב ערימה, הקלפים הראשונים והשני חייבים להיות אסים, חליפות לא משנות.

כדי להתחיל, למצוא את ההסתברות כי הכרטיס הראשון הוא אס, הפער הזה על ידי ארבעה ושלושים ושש. הנח אותו בצד. אנחנו מקבלים כרטיס שני הוא אס עם ההסתברות של שלוש מאה שלושים חמישיים. ההסתברות של האירוע השני תלוי איזה כרטיס שלפנו את הראשון, אנחנו מעוניינים, שזהו אס או לא. מכאן נובע כי במקרה תלוי א האירוע

השלב הבא אנו מוצאים את ההסתברות ליישום סימולטני, כלומר, להכפיל A ו- B. העבודה שלהם היא כדלקמן: ההסתברות של אירוע אחד מוכפל בהסתברות המותנית אחר, אנו מחשבים, בהנחה כי האירוע הראשון התרחש, כלומר, הכרטיס הראשון שעצרנו אס.

על מנת להפוך את כל זה ברור, לתת אלמנט כזה ייעודו כפי ההסתברות המותנה של האירוע. זה מחושב על ידי בהנחת מקרה שבו קרה. זה מחושב כדלקמן: P (B / A).

אנו מושיטים את הפתרון לבעיה שלנו: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) או P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). ההסתברות היא (4/36) _* ((3/35) / (4/36) מחושב על ידי עיגול למאית הקרובה יש לנו: .. 0.11 _* (0.09 / 0.11) = 0.11 _* 0, 82 = 0.09. ההסתברות כי אנו מפנים את שני אסים ברציפות שווה לתשע למאיות. הערך הוא קטן מאוד, מסקנה הוא כי ההסתברות להתרחשות אירוע היא נמוכה מאוד.

חדר נשכח

אנו מציעים לעשות עוד כמה אפשרויות של עבודות החוקרות את התאוריה של הסתברות. דוגמאות לפתרונות של חלק מאלה שראיתם במאמר זה, לנסות לפתור את הבעיה הבאה: הילד שכח את מספר הטלפון של הספרה האחרונה של חברו, אבל מאז השיחה הייתה חשובה מאוד, אז החל להרים כל אחד בתורו. אנחנו צריכים לחשב את ההסתברות שהוא יתקשר לא יותר משלוש פעמים. הפתרון הפשוט ביותר לבעיה, אם אתה מכיר את הכללים, החוקים האקסיומות של תורת ההסתברות.

לפני שאתה רואה פתרון, לנסות לפתור בכוחות עצמם. אנו יודעים כי הדמות השנייה עשויה להיות מאפס עד תשע, עבור סכום כולל של עשרה ערכים. ציון הסתברות הנדרש הוא 1/10.

הבא עלינו לשקול אפשרויות בנוגע למקורה של האירועים, נניח שהילד ניחש נכון וזכה ימין, ההסתברות של אירועים כאלה שווה 1/10. האפשרות השנייה: בתלוש השיחה הראשון, ואת היעד השני. אנו לחשב את ההסתברות של אירועים כאלה: 9/10 מוכפל 1/9 בסופו של דבר אנחנו מקבלים כמו 1/10. האפשרות השלישית: השיחה הראשונה והשנייה התברר לכתובת הלא נכונה, רק הילד השלישי היה לאן שיחפוץ. לחשב את ההסתברות של אירועים כאלה: 9/10 מוכפל 8/9 ו 1/8, נקבל כתוצאה 1/10. אפשרויות אחרות על מצבו של הבעיה שאנחנו לא מעוניינים, זה נשאר לנו להניח את התוצאות הללו, בסופו של דבר יש לנו 3/10. תשובה: ההסתברות כי נער הייתי קורא לא יותר משלוש פעמים, שווה 0.3.

כרטיסים עם מספרים

לפני שאתם תשעה קלפים, שכל אחד מהם כתוב מספר בין אחת עד תשע, המספרים לא חוזרים. הם הכניסו בתוך קופסה ומערבבים היטב. אתה צריך לחשב את ההסתברות כי

• התגלגל מספר זוגי;
• דו-ספרתי.

לפני שתמשיך את ההחלטה להתנות מטר כי - הוא מספר המקרים מוצלחים, ו n - הוא המספר הכולל של אופציות. תן לנו למצוא את ההסתברות כי המספר זוגי. לא קשה לחשב כי גם המספרים של ארבעה, וזה מטר שלנו, כל תשע אפשרויות האפשר, כלומר, m = 9. אז ההסתברות שווה 0.44 או 4/9.

אנו רואים את המקרה השני, מספר גרסאות של תשעה, ועל תוצאה מוצלחת לא יכול להיות בכלל, כי הוא, מ 'הוא אפס. ההסתברות כי הכרטיס המוארך יכיל מספר דו ספרתי, כמו אפס.