טור פורה: ההיסטוריה וההשפעה של המנגנון המתמטי לפיתוח המדע

פורה - השקפה זו נבחרה באופן שרירותי פונקציות לתקופה ברציפות. באופן כללי, הפתרון הזה נקרא היסוד הרחב על בסיס אורתוגונלי. הרחבת פונקציות סדרה פורה למדי כלי רב עצמה לפתרון בעיות שונות בשל המאפיינים של טרנספורמציה של האינטגרציה, הבידול, כמו גם שינוי ביטוי הטיעון ואת הפיתול.

מי אינו מכיר את המתמטיקה גבוהה, כמו גם עם היצירות של פורייה המדען הצרפתית, סביר להניח שלא מבין מה "הדרגות" ומה הם עושים. אולם השינוי הזה הוא די בתקיפות נכנס לחיינו. הוא משמש לא מתמטיקה בלבד, אלא גם פיזיקאים, כימאים, רופאים, אסטרונומים, seismologists, ואוקיינוגרפים ואחרים. תנו לנו גם להעיף מבט מקרוב עם יצירות של המדען הצרפתי הגדול שגילה את התגלית, שהקדים את זמנו.

האיש ואת ההתמרה

פורה הוא אחת השיטות (יחד עם ניתוח ואחרים) של ההתמרה. תהליך זה מתרחש בכל פעם שאדם שומע כל צליל. האוזן שלנו ממיר באופן אוטומטי את גלי הקול. תנועה תנודתית של חלקיקים האלמנטריים קפיצי בינוני מורחבת בסדרה (הספקטרום) ערכי נפח רצופים עבור צלילים בגבהים שונים. הבא, מוח ממירת נתונים זה לצלילים מוכרים לנו. כל זה בנוסף רצון או תודעה שלנו עצמה, אך כדי להבין את התהליכים להימשך מספר שנים כדי ללמוד מתמטיקה גבוהה.

קראו עוד על ההתמרה

ההתמרה הפורה יכול להתבצע אנליטי, ספרות ושיטות אחרות. סדרה פורה היא תהליך ספרה לפירוק כל תהליכים תנודתית - מן הגאות ושפל האוקיינוס הגלי אור מחזורי שמש (וגם עצמים אסטרונומיים אחרים) פעילות. באמצעות שימוש בטכניקות מתמטיות אלה, אפשר לפרק את הפונקציה, המייצג כל תהליכים תנודתית בכמה רכיבים סינוסי כי ללכת מן המינימום למקסימום ולהיפך. ההתמרה הפורה היא פונקציה המתארת את השלב ואת משרעת של sinusoids המתאים בתדר מסוים. תהליך זה יכול לשמש לפתרון משוואות מורכבות מאוד אשר מתארות את התהליכים הדינמיים המתרחשים תחת הפעולה של חום, אור או אנרגיה חשמלית. כמו כן, הפורה בשימוש להבחין רכיבי DC ב צורות גל מורכבים, כך שניתן לפרש את תצפיות ניסיוניות כראוי ברפואה, כימיה ואסטרונומיה.

מידע היסטורי

האב המייסד של התיאוריה הזו הוא המתמטיקאי הצרפתי זאן Batist Zhozef Fure. שמו מאוחר וטרנספורמציה זה כבר נקרא. בתחילה, המדענים השתמשו בטכניקה ללמוד ולהסביר המנגנונים של מוליכות תרמית - התפשטות חום במוצקים. פורה הציע החלוקה הסדירה הראשונית של הגל החום יכולה להיות מפורקת סינוסואידה פשוטה, שכל אחד מהם יצטרך המינימום ומקסימום הטמפרטורה שלו, כמו גם השלב שלה. לכן כל רכיב כזה יימדד מן המינימום ולהיפך מקסימלית סגן. הפונקציה המתמטית שמתארת את הפסגות העליונות ותחתונות של העקומה, כמו גם את השלב של כל הרמונית, כינתה את ההתמרה של חלוקת הטמפרטורה של ביטוי. המחבר של התאוריה של פונקציית התפלגות כוללת מופחתת שקשה תיאור מתמטי, בתוך קל מאוד להתמודד עם מספר של פונקציות מחזוריות של סינוס וקוסינוס, בסך של מתן ההפצה הראשונית.

עקרון ההמרה והנופים של דורו

זמנו של המדען - המתמטיקאים המובילים של המאה התשע עשרה מוקדם - לא יקבל את התיאוריה הזאת. ההתנגדות העיקרית הייתה באישור פורה כי הפונקציה הרציפה לשרטט קו או עקומה ישר נקרעה, זה יכול להיות מיוצג כסכום של ביטויים סינוסי כי הם רציפים. כדוגמה, לשקול Heaviside "צעד": הערך שלו הוא אפס משמאל הפער ואחד בצד ימין. פונקציה זו מתארת את התלות של זרם חשמלי על הזמן משתנה עבור שרשרת הסגירה. התאוריה עכשווית באותה העת, מעולם לא נתקלה במצב כזה, כאשר ביטוי רציף היה להיות מתואר על ידי שילוב של פונקציות רציפות, נפוצות, כגון מעריכים, סינוס, ליניארי או ריבועית.

מה שהפריע המתמטיקאים צרפתית התיאוריה של פורייה?

אחרי הכל, אם מתמטיקאי צדק להתווכח, אז, סיכום סדרה פורה טריגונומטריות אינסופית, אפשר להשיג ייצוג מדויק של צעד ביטוי, גם אם יש לו סט של צעדים דומים. במאה התשע עשרה מוקדם, ההצהרה הזו נראה אבסורדי. אבל למרות כל ההספקות, מתמטיקאים רבים הרחיבו את היקף המחקר של תופעה זו, הזזתו מעבר ללימודי הולכה התרמיים. עם זאת, רוב המדענים המשיכו לסבול את השאלה: "? האם הסכום של סדרת גל סינוס מתכנס הערך המדויק של פונקציה רציפה"

התכנסות של טור פורה: דוגמא

סוגיית ההתכנסות עולה בכל פעם שאתה צריך את הסיכום של סדרה אינסופית של מספרים. לשקול דוגמה קלאסית להבנת התופעה. האם תוכל אי פעם להגיע אל הקיר, אם כל צעד הוא החצי קודם? תניח שאתה שני מטרים מהמטרה, הצעד הראשון קרוב יותר סביב חצי דרך, הבא - הסימן של שלושה רבעים, ואחרי החמישי, תוכל להתגבר כמעט 97 אחוזים בדרך. עם זאת, לא משנה כמה צעדים עשית לא, המטרה המיועדת שתגיע במובן מתמטי קפדן. באמצעות חישובים מספריים, נוכל להוכיח כי בסופו של דבר עשוי להיות קרוב יותר מרחק נתון קטן באופן שרירותי. זה שווה הוכחת ההוכחה כי הערך הכולל של חצי אחד, רבע, וכן הלאה. E. יטה אחדות.

סוגיית ההתכנסות: בואו השני, או מכשיר של לורד קלווין

שוב ושוב עלתה השאלה במאה התשע עשרה, כאשר פורייה ניסו להשתמש כדי לחזות את עוצמת דועכת ותזרימי. באותו זמן, לורד קלווין הומצא מכשיר הוא מחשב אנלוגי שאפשר צי מלחים צג סוחר הימי הוא תופעה טבעית. סט מנגנון מוגדר זה של שלבי ואמפליטודות של גובה השולחן של הגאות והשפל ואת רגעי הזמן המתאים, נמדד בקפידה בנמל לאורך כל השנה. כל פרמטר הוא לגבה גאות סינוסי ביטוי מרכיב והיה אחד המרכיבים הרגילים. תוצאות המדידה הן קלטו למכשיר מחשוב לורד קלווין, סינתזה עקומה כי חזה גובה המים כפונקציה של השנה העוקבת. בקרוב מאוד, עקומות אלה גובשו כל נמלי העולם.

ואם התהליך יהיה שבור פונקציה רציפה?

באותו זמן, זה נראה ברור כי המכשיר מנבא גל גאות, עם אלמנטים רבים של החשבון יכול לחשב מספר רב של שלבים ואמפליטודות, וכך לספק תחזית מדויקת יותר. עם זאת, התברר כי דפוס זה לא הוא ציין במקרים בם הביטוי הגא כי יהיה מסונתז, כלול קפיצה חדה, כלומר, הם לא רציפים. במקרה המנגנון להזין נתונים מטבלה של נקודות זמן, היא מחשבת מקדם פורה כמה. שחזור הפונקציה המקורית בשל מרכיב סינוסי (בהתאם מקדמים נמצאים). הפער בין המקור לבין הביטוי המשוחזר ניתן למדוד בכל נקודה. כאשר החישובים החוזרים והשוואות ניתן לראות כי הערך של הטעות הגדולה לא מצטמצם. עם זאת, הם מרוכזים באזור המתאים עד כדי קרע, וכל נקודה אחרת נוטה אפס. בשנת 1899, תוצאה זו אושרה באופן תיאורטי יהושע וילארד גיבס של אוניברסיטת ייל.

ההתכנסות של סדרה פורייה להתפתחות המתמטיקה כמכלול

ניתוח פורה אינו חל על ביטויים המכילים מספר אינסופי של התפרצויות במרווח מסוים. בסדרה פורייה בכלל, אם הפונקציה המקורית מיוצגת על ידי תוצאה של מדידות פיסיקליות מעשיות, להתכנס תמיד. שאלות של התכנסות של תהליך זה לסוגים של פונקציות הובילו סניפים חדשים של מתמטיקה, כגון התאוריה של פונקציות כלליות. היא מזוהה עם שמות כמו שוורץ, J .. Mikusiński וג 'מקדש. תחת התאוריה הזו, בסיס תיאורטי ברור ומדויק עבור ביטוי כזה כבר נקבע כמו פונקציית הדלתא של דיראק (זה מתאר את האזור של אזור אחד, מרוכז בשכונה מזערית של הנקודה) ו "צעד" Heaviside. דרך עבודה זו סדרה הפורה הפכה רלוונטית לפתרון משוואות ובעיות, אשר כרוכות מושגים אינטואיטיביים: תשלום נקודה, נקודה המוני, דיפולים מגנטיים, ואת העומס המרוכז על הקורה.

שיטה פורה

סדרה פורה, בהתאם לעקרונות התערבות, להתחיל עם הפירוק של צורות מורכבות לתוך פשוט. לדוגמה, שינוי זרימת החום עקב המעבר שלו דרך המחסומים השונים של חום חומר בידוד של צורה לא סדירה או שינוי פני הקרקע - רעידת אדמה, שינוי מסלולו של גוף שמימי - ההשפעה של כוכבי הלכת. בדרך כלל, משוואות אלה המתארים יסודיים במערכת קלסית פשוטה לפתור עבור כל אורך גל יחיד. פורה הוכיח כי ניתן לסכם פתרונות פשוטים כמו למשימות מורכבות יותר. בשפת המתמטיקה, פורייה - מתודולוגיה להגשת סכום ביטוי הרמוני - קוסינוס ו גלי סינוס. לכן, ניתוח זה ידוע גם בשם "ניתוח הרמוני".

פורה - שיטה אידיאלית "בעידן המחשב"

לפני הקמתה של שיטה פורה טכנולוגיית מחשב הוא הנשק הטוב ביותר בארסנל של מדענים לעבוד עם טבע הגל של עולמנו. סדרה פורה בצורה מורכבת מאפשרת לך לא רק לפתור בעיות פשוטות שאינן ניתנים לכוון יישום של החוקים המכאניקה של ניוטון, אלא גם את המשוואות הבסיסיות. רוב התגליות של המדע הניוטוני של המאה התשע עשרה התאפשר רק בשל שיטת פורייה.

סדרה פורייה היום

עם התפתחות ההתמרה מחשבים עלו לרמה חדשה. טכניקה זו מעוגנת היטב כמעט בכל תחומי המדע והטכנולוגיה. כדוגמא, אודיו וידאו דיגיטליים. יישומה נעשה הודות בלבד ניתן התיאוריה שפותחה על ידי המתמטיקאי הצרפתי של המאה התשע עשרה מוקדם. לפיכך, הפורה בצורה מורכבת אפשר לבצע פריצת דרך בחקר החלל החיצון. בנוסף, זה השפיע בחקר הפיסיקה של חומרים מוליכים למחצה ו פלזמה, אקוסטיקה מיקרוגל, אוקיאנוגרפיה, מכ"ם, סיסמולוגיה.

סדרת טריגונומטריות פורייה

במתמטיקה, סדרה פורה היא דרך לייצג פונקציות מורכבות שרירותיות כסכום של פשוט. במקרים כלליים, מספר ביטויים עשויים להיות אינסופיים. ספר את המספר הגדול יותר בחישוב, מדויקת יותר את התוצאה הסופית מתקבלת. השימוש הנפוץ ביותר של קוסינוס טריגונומטריות הפשוט או פונקצית סינוס. במקרה זה, הפורה נקרא טריגונומטריות, וההחלטה של ביטויים כאלה - פירוק הרמוני. שיטה זו ממלאת תפקיד חשוב במתמטיקה. קודם כל, הסדרה טריגונומטריות מספקת אמצעי של התמונה, כמו גם את המחקר של פונקציות, הוא היחידה הראשית של התאוריה. בנוסף, היא מאפשרת לנו לפתור מספר בעיות מתמטיות בפיסיקה. לבסוף, תאוריה זו תרמה להתפתחות של ניתוח מתמטי, זה הוליד מספר הסניפים מאוד חשובים של מדע מתמטי (תאוריה של אינטגרלים, התאוריה של פונקציות מחזוריות). בנוסף, הנקודה המוצא לפיתוח מהפעולות הבאות התיאוריות: סטים, פונקציות של ממש משתנה, ניתוח פונקציונלי, וגם הניחו את היסודות עבור אנליזה הרמונית.