כלומר משיק למעגל? מאפיינים של משיק למעגל. המשיק המשותף העיגולים שני

Secants, משיקים - כל זאת מאות פעמים אפשר לשמוע על שיעורים בגיאומטריה. אבל הנושא של הספר מאחורי, לעבור את השנה, ואת כל הידע הזה נשכח. מה אני צריך לזכור?

מהות

המונח "משיק למעגל" סימן, אולי, הכל. אבל אין זה סביר כי כל תגבש הגדרה במהירות. בינתיים שנקרא קו משיק שוכב על אותו המישור כמו המעגל שבו מצטלב זה רק בנקודה אחת. מספר עצום שלהם יכולה להתקיים, אבל לכולם יש את אותן התכונות, אשר יידונו בהמשך. כפי שאתם יכולים לנחש, נקודת המגע התייחסה המקום שבו המעגל והקו מצטלב. בכל מקרה, זה אחד, אם יש יותר, אז זה יהיה משוכל.

ההיסטוריה של גילוי ולימוד

הקונספט של משיק הופיע בימי קדם. בניית שורות אלה למעגל הראשון, ולאחר מכן אל אליפסות, פרבולות ו hyperbolas עם סרגל ומצפן החזיק עדיין בשלבים המוקדמים של פיתוח של הגיאומטריה. כמובן, ההיסטוריה לא שמר על שמו של המגלה, אך ברור כי גם באותה תקופה אנשים היו ידועים המאפיינים של משיק למעגל.

בתקופה מודרנית ההתעניינות בתופעה זו פרצה שוב - החל סבב חדש של לימוד המושג הזה בשיתוף עם פתיחת העקומות חדשות. לפיכך, גלילאו הציג את הרעיון של cycloid ו פרמתי ודקארט בנה משיק אליו. ובאשר העיגולים, כך נראה, הוא עבור הסודות העתיקים שנותרו באזור זה.

המאפיינים

הרדיוס נמשך אל נקודת החיתוך יהיה בניצב לקו. זה עיקרי, אך לא את הנכס היחיד הוא משיק למעגל. תכונה חשובה נוספת כבר כוללת שני ישר. אז, דרך נקודה אחת, הנמצאת מחוץ למעגל, אפשר לצייר שני משיקים, והאורכים שלהם שווים. יש משפט אחר על הנושא הזה, אך רק לעתים נדירות מתקיים במסגרת קורס הספר הרגיל, אבל כדאי מאוד לפתרון בעיות מסוימות. זה הולך כדלקמן. מנקודה אחת הממוקם מחוץ למעגל, לצייר משיק חותך אליו. נוצר מגזרים AB, AC ו- AD. א - בצומת של הקווים, B נקודת המשיק, C ו- D - מעבר. במקרה זה, את המשוואה הבאה תקפה: האורך של המשיק למעגל, בריבוע, שווה לתוצר של המגזרים AC ו- AD.

מן האמור לעיל, קיימת תולדה חשובה. עבור כל נקודה של המעגל, אתה יכול לבנות משיק, אבל רק אחת. ההוכחה לכך היא די פשוטה: בתאוריה עד אותו בניצב מן הרדיוס, נגלו כי נוצר משולש לא יכול להתקיים. וזה אומר כי המשיק - היחיד.

בניין

בין משימות אחרות בגיאומטריה היא קטגוריה מיוחדת, ככלל, לא הוא אהוב על תלמידים וסטודנטים. כדי לפתור את המשימות של קטגוריה זו רק צריך מצפן וסרגל. זוהי המשימה של בניין. שם מקימים על משיק.

אז, נתון במעגל ונקודת שוכב מחוץ לגבולותיה. ואתה צריך לנווט אותם משיק. איך אתה עושה את זה? קודם כל, אתה צריך להשקיע את המרווח בין מרכז O מעגל ונקודה להגדיר. ואז, בעזרת מצפן צריך לחלק אותו לחצי. לשם כך, עליך להגדיר את הרדיוס - קצת יותר ממחצית המרחק בין מרכז המעגל לנקודה המקורית. אז אתה צריך לבנות שתי קשתות מצטלבות. הרדיוס על השינוי לא צריך להיות המצפן, והמרכז בכל צד של המעגל יהיה הנקודה המקורית, ו- O, בהתאמה. מקומות ומשליכים בצומת צריכים להתחבר כי לחתוך קטע במחצית. שאל את רדיוס המצפן השווה למרחק. בהמשך, עם המרכז בצומת לבנות מעגל אחר. הוא יתבסס על שני לנקודה המקורית, וע 'במקרה זה, יהיו שני צמתים עם בעיה זו במעגל. זה שהם יהיו נקודות מגע עבור הנקודה שצוינה בתחילה.

מעניין

היא בונה משיק למעגל הובילה ללידתו חשבון דיפרנציאלי. העבודה הראשונה בנושא זה פורסמה על ידי המתמטיקאי הגרמני המפורסם לייבניץ. זה ספק לאפשרות של מציאת המקסימום, ומינימום ו משיק ללא התחשבות בכמויות שבר ולא רציונלית. ובכן, עכשיו זה משמש לביצוע חישובים רבים אחרים.

יתר על כן, המשיק למעגל הקשורים במובן המשיק הגיאומטרי. זה מזה, ועל שמו מגיע. תורגם מן tangens הלטינית - "משיק". לפיכך, הרעיון הזה הוא לא רק גיאומטריה חשבון דיפרנציאלי, אבל עם טריגונומטריה.

שני עיגולים

לא תמיד משיק zatragivet רק דמות אחת. אם אתה יכול לבלות קווים רבים לאחד מעגל, אז למה לא להיפך? אפשרי. זה בדיוק הבעיה במקרה הזה מסתבך ברצינות, משום משיק שני העיגולים לא יכול לעבור בכל נקודה, ואת המיקום היחסי של כל הנתונים הללו יכולים להיות מאוד שונה.

סוגים וזנים

כשמדובר בשני עיגולים וקווים אחד או יותר, אז גם אם אתה יודע שזה בערך, הוא לא מיד ברור איך כל היצירות האלה מסודרים ביחס לזה. על בסיס זה, יש כמה סוגים. אז, המעגל יכול להיות אחד או שתיים נקודות משותפות, או בכלל. במקרה הראשון, הם יהיו חופפים, ואת השני - לגעת. והנה הם שני זנים. אם אחד המעגל, כביכול מוטבע השני, למגע נקרא פנימי אם לא - אז בחוץ. להבין את המיקום היחסי של החלקים לא יכול להתבסס רק על הציור, אבל יהיה מידע על הסכום של הרדיוס שלהם והמרחק בין המרכזי שלהם. אם שני הערכים הללו שווים, אז המעגלים לגעת. אם הראשון יותר - מצטלב אחרת - אין נקודות משותפות.

אז זה עם קווים ישרים. עבור כל שני עיגולים שאין נקודות משותפות יכולות להיות
לבנות ארבעה משיקים. שניים מהם יהיו חופפים בין הדמויות, הם נקראים פנימיים. כמה אחרים - חיצוני.

אם אנחנו מדברים על מעגלי, שבו יש נקודה אחת במשותף, הבעיה פשוטה ברצינות. העובדה היא כי בכל הסדר הדדית, במקרה זה המשיק יהיה להם רק אחד. וזה יעבור דרך נקודת החיתוך. מאז הבניין כי לא יגרום קשיים.

אם הדמויות הן שתי נקודות החיתוך, אז הם יכולים להיבנות קו משיק למעגל כמו אחד, ואת השני, אבל רק מבחוץ. הפתרון לבעיה זו הוא דומה למה נדון בהמשך.

עמידה באתגרים

שניהם המשיק הפנימי וחיצוני לשני העיגולים בבניין אינו כה פשוט, אם כי, ואת הבעיה הזו נפתרת. עובדת דפוס עזר משמש זה, כך הבינה שיטה כזו לבד זה די בעייתי. אז, נתן שני עיגולים עם רדיוס שונה מרכזי O1 ו- O2. מבחינתם, את הצורך לבנות שני זוגות משיקים.

קודם כל, על מרכז המעגל הגדול לבנות תומך. במקביל על המצפן יש להגדיר את ההבדל בין הרדיוס של שתי הדמויות המקוריות. מהמרכז המשיק למעגל הקטן אל העזר הבנוי. אחרי זה של O1 ו- O2 מוחזקים perependikulyary ישר אלה עד לצומת עם הדמויות המקוריות. כדלקמן מן המאפיינים הבסיסיים של המשיק, הנקודות הנדרשות נמצאות משני החוגים. הבעיה נפתרת, לפחות בחלקה הראשונה שלה.

על מנת לבנות משיקים פנימיים צריכים לפתור כמעט בעיה דומה. שוב, אנחנו צריכים דמות עזר, אבל הפעם הרדיוס שלו שווה לסכום המקורי. כדי לה לבנות משיק מהמרכז אחד המעגלים האלה. הקורס הנוסף של ההחלטה ניתן להבין מהדוגמא הקודמת.

המשיק למעגל, או אפילו שתיים או יותר - הוא לא כזה משימה קשה. כמובן, מתמטיקאים הפסיקו ארוך כדי לפתור בעיות דומות ידניים לסמוך לחשב תוכניות מיוחדות. אבל לא חושב שזה עכשיו לא בהכרח להיות מסוגל לעשות את זה בעצמך, כי עבור ניסוח נכון של המשימה עבור המחשב לעשות הרבה ולהבין. למרבה הצער, יש חשש כי לאחר המעבר הסופי בצורה במבחן בעיות שליטה בידע על הבנייה יגרום לתלמידים יותר וקשיים נוספים.

באשר למציאה בסיפורי המעשיות המשותפות חוגים יותר, זה לא תמיד אפשרי, גם אם הם משקרים על אותו המישור. אבל במקרים מסוימים אפשר למצוא קו כזה.

דוגמאות חיים

המשיק המשותף לשני העיגולים מופיע בדרך כלל בפועל, אם כי זה לא תמיד ברור. מסועים, מערכות מודולריות, גלגלות חגורות שידור, מתח של החוט במכונת תפירה, אבל אפילו רק בשרשרת אופניים - כולם דוגמאות של החיים. אז לא חושב שבעיות גיאומטריות להישאר רק בתאוריה: בהנדסה, פיסיקה, בנייה רבים בתחומים אחרים נמצאות בשימוש מעשי.