מספרים ממשיים ותכונותיהם

פיתגורס טען כי המספר הוא הבסיס של העולם בנשימה אחת עם האלמנטים המרכזיים. אפלטון האמין כי מספר הקישורים התופעה ואת noumenon, עוזר לדעת, להישקל כדי להסיק מסקנות. אריתמטיקה מגיע מהמילה "arifmos" - המספר, נקודת ההתחלה במתמטיקה. אפשר לתאר כל אובייקט - מהבסיסיים ועד מרחבים מופשטים אפל.

צורכים כגורם להתפתחות

בשלבים הראשוניים של הפיתוח של החברה לצרכי אנשים מוגבלים על ידי הצורך לשמור ציון - .. אחת ושק זרעונים, שתי שקית גרעינים, וכו 'כדי לעשות זאת, זה היה המספרים הטבעיים, הסט מהם הוא רצף אינסופי של נ מספרים שלמים חיוביים

מאוחר יותר, להתפתחות המתמטיקה כמדע, היה צורך בתחום הספציפי של Z מספרים שלמים - זה כולל ערכים שליליים ואפס. המראה שלו ברמה המקומית, זה שנוצר בעקבות העובדה הטיפול החשבונאי הראשוני היה איכשהו לתקן את חובות והפסדים. במישור מדעי, מספרים שליליים אפשרו לפתור פשוט משוואות ליניאריות. בין היתר, ניתן כיום לתמונה מערכת קואורדינטות טריוויאלי, כלומר. א היתה נקודת התייחסות.

השלב הבא היה הצורך להזין מספרים חלקיים, שכן המדע אינו עומד עדיין, יותר ויותר גילויים חדשים דרשו בסיס תיאורטי גידול דחיפה חדש. אז היה שדה המספרים הרציונליים ש

לבסוף, כבר לא לעמוד בדרישות של רציונליות, כי כל הממצאים החדשים דורשים הצדקה. היו בתחום R מספרים אמיתיים, העבודות של אח ודוגמה של אוקלידס של כמויות מסוימות בגלל חוסר ההיגיון שלהם. כלומר, המתמטיקאי היווני העתיק ממוקם לא מספר רק בתור קבוע, אבל כערך מופשט אשר מאופיין על ידי היחס בין בהירויות שאינן עולות בקנה אחד. בשל העובדה כי ישנם מספרים אמיתיים, "ראינו את האור" ערכים כגון "pi" ו- "E", שבלעדיו המתמטיקה המודרנית לא היתה יכולה להתרחש.

החידוש האחרון היה מספר מורכבים ג ענה לו סדרת שאלות הופרכו הפוסטולייטים שהוזנו קודם. בשל ההתפתחות המהירה של תוצאת האלגברה היה צפויה - עם מספרים אמיתיים, ההחלטה של בעיות רבות לא הייתה אפשרית. לדוגמה, הודות מספרים מרוכבים בלט תורת המיתרים ומשוואות הרחיבה הכאוס של הידרודינמיקה.

תורת הקבוצות. חזן

הרעיון של אינסוף תמיד גרם למחלוקת, כפי שהיה אפשר להוכיח או להפריך. בהקשר של מתמטיקה, מופעל הפוסטולייטים אומת בהחלט, זה בא לידי ביטוי ברוב ברור, שככל כי ההיבט התאולוגי עדיין שקל במדע.

עם זאת, דרך העבודה של המתמטיקאי גיאורג קנטור כל הזמן נפל למקומו. הוא הוכיח כי הקבוצות האינסופיות ישנו סט אינסופי, וכי R השדה גדול N בתחום, תן שניהם ואין להם סוף. באמצע המאה ה XIX, רעיונותיו שנקראו שטויות בפומבי פשע נגד קנונים קלסיים משתנים, אבל הפעם יהיה לשים את הכל במקומו.

תכונות בסיסיות של R השדה

מספרים בפועל לא צריכים רק את אותן תכונות כמו podmozhestva כי הם כוללים, אך בתוספת masshabnosti האחר מכוח מרכיביו:

• אפס ר קיים ושייך ג השדה + = c 0 לכל ג ר
• אפס קיים ושייך ג שדה ר x 0 = 0 עבור כל ג ר
• ה- C יחס: D כאשר ד ≠ 0 קיים והוא תקף לכל ג, ד ר
• שדה R הורה, כלומר, אם ג ≤ d, c ≤ d, אז c = D לכל ג, ד ר
• תוספת ב R שדה היא קומוטטיבית, דהיינו ג + ד = D + C, עבור כל ג, ד ר
• כפל ב R השדה הוא קומוטטיבית, למשל x ג x ע = ד ג ולתמיד ג, ד ר
• תוספת ב R שדה היא אסוציאטיבית למשל (ד + ג) + f = c + (ד + F) לכל ג, ד, ו של ר '
• כפל ב R השדה הוא אסוציאטיבי למשל (ג 'x ע') x f = C x (ד x F) לכל ג, ד, ו של ר '
• עבור כל מספר של ההפך R השדה אותו שם, כך ג + (-c) = 0, כאשר c, -c מר'
• עבור כל מספר של R שדה קיים ההופכי שלו, כך ג x ג ^-1 = 1 כאשר c, c ^-1 של ר '
• יחידה קיימת ששייך R, כך ג x 1 = C, עבור כל ג ר
• יש לו את החלוקה בחוק החשמל, כך x ג (ד + F) = D X C + C x F, לכל ג, ד, ו של ר '
• שדה R הוא האפס הוא לא שווה אחדות.
• שדה R הוא טרנזיטיבי: אם ג ≤ d, d ≤ f, אז ג ≤ f לכל ג, ד, ו של ר '
• בצו R ו בנוסף מחוברים ביניהם: אם d ≤ c, אז c f ≤ d + F + לכל ג, ד, ו של ר '
• בשנת סדר R ומקושר כפל: אם 0 ≤ c, 0 ≤ d, אז 0 ≤ c x D לכל ג, ד ר
• כמספרים ריאליים שליליים וחיוביים הם רציפים, למשל, עבור כל ג, ד של R F, קיים מ R, כי ג ≤ f ≤ d.

R שדה מודול

המספרים האמיתיים כוללים דבר כזה כמודול. לעישון זה כמו | F | עבור כל f ב ר | F | = F, אם 0 ≤ f ו | F | = -f, אם 0> f. אם ניקח בחשבון את המודול כערך גיאומטרי, זה מרחק - זה לא משנה, "עבר" אתה אפס בשלילה אל חיובי או קדימה.

מספרי מרוכבים ואמיתיים. מהן נקודות הדמיון והשוני?

באופן כללי, מורכבות ומספרים אמיתיים - הם היינו הך, פרט לכך הראשונה הצטרפה היחידה מדומה i, בכיכר אשר שווה -1. אלמנטים שדות R ו- C יכול להיות מיוצג על ידי הנוסחה הבאה:

• ג = ד + F x i, שבו ד, ו שייך R השדה, ואני - יחיד מדומה.

כדי לקבל את ג של R f במקרה הזה פשוט הניחו להיות אפס, כלומר, יש רק את החלק האמיתי של מספר. מכיוון שדה המספרים המרוכבים יש את אותה תכונה להגדיר כשדה של אמת, F x i = 0 אם f = 0.

באשר להבדלים מעשיים, למשל R שדה המשוואה ריבועית לא יכול להיפתר אם המבחין הוא שלילי, ואילו תיבת C אינה מטילה מגבלה זו על ידי הצגת היחידה מדומה i.

תוצאות

"לבנים" של האקסיומות מניחה שעליו מתמטיקה בסיס, לא לשנות. על חלק מהם בשל הגידול במידע לבין המבוא של תיאוריות חדשות הניח את "הלבנים" הבאים, אשר בעתיד עלול להפוך את הבסיס לשלב הבא. לדוגמא, מספרים טבעיים, על אף העובדה כי הם תת-קבוצה של R השדה האמיתי, אינו מאבדים את הרלוונטיות שלה. זוהי להם בסיס כל ארבע פעולות החשבון, אשר מתחיל עם הידע של איש שלום.

מנקודת ראות מעשית, המספרים האמיתיים נראים בקו ישר. אפשר לבחור כיוון, כדי לזהות את המקור מגרש. ישיר מורכב מספר אינסופי של נקודות, שכל אחד מהם מתאים למספר אמיתי יחיד, ללא קשר לשאלה האם או לא רציונלים. מתיאור זה ברור כי אנחנו מדברים על המושג, אשר מבוססת המתמטיקה בכלל, ועל ניתוח מתמטי בפרט.