טרפז שווה צלעות Diagonal. מהו הקו האמצעי של הטרפז. סוגי טרפזים. טרפז - זה ..

טרפז - מקרה מיוחד של ריבוע, שבו זוג אחד הצדדים הוא מקביל. המונח "טרפז" נגזר τράπεζα המילה היוונית, כלומר "שולחן", "שולחן". במאמר זה נבחן סוגים של הטרפז ותכונותיו. כמו כן, אנו נראים כיצד לחשב האלמנטים הבודדים של הדמות הגיאומטרית. לדוגמא, האלכסון של טרפז שווה צלעות, קו, שטח ועוד באמצע. החומר כלול הסגנון הפופולרי הגיאומטריה היסודי, t. E. בצורה נגישה.

סקירה

ראשית, בואו להבין מה מרובע. נתון זה הוא מקרה מיוחד של מצולע בעל ארבע צלעות וארבעה קודקודים. שני קודקודים של מרובע, אשר אינם סמוכים, נקראים היפך. את אותו הדבר אפשר לומר על שני הצדדים שאינם סמוכים זה לזה. הסוגים העיקריים של ריבועים - מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע, טרפז ו deltoid.

אז בחזרה הטרפז. כפי שאמרנו, דמות זו שני הצדדים הם מקבילים. הם נקראים בסיסים. השניים האחרים (שאינם מקבילים) - הצדדים. החומרים של בדיקות שונות ובדיקות לעתים קרובות אתה יכול לעמוד באתגרים הקשורים טרפזים שפתרונן כרוך לעיתים הידע של התלמיד לא מכוסה על ידי התוכנית. קורס גיאומטרית הספר מציגה תלמידים עם זוויות נכסי אלכסונים כמו גם קו החציון של טרפז שווה שוקיים. אבל חוץ מזה המכונה צורה גיאומטרית יש תכונות אחרות. אבל עליהם בהמשך ...

טרפז סוגים

ישנם סוגים רבים של דמות זו. עם זאת, לרוב נהוג לחשוב שניים מהם - שווה שוקיים ומלבניים.

1. טרפז מלבני - דמות שבה אחד הצדדים בניצב לבסיס. יש לה שתי זוויות הם תמיד שווה תשעים מעלות.

2. טרפז שווה שוקיים - דמות גיאומטרית וצדים שווים. אז, ואת הזוויות בבסיס גם הן שווות.

להלן עיקרי שיטות ללימוד המאפיינים של הטרפז

העקרונות הבסיסיים כוללים את השימוש בגישה שנקראת למשימה. למעשה, אין צורך להיכנס גיאומטריה כמובן תיאורטית של נכסים חדשים של דמות זו. הם יכולים להיות פתוחים או בתהליך של גיבוש המשימות השונות (מערכת טובה יותר). חשוב מאוד כי המורה יודע מה המשימות אתה צריך לשים מול תלמידים בכל זמן נתון של תהליך הלמידה. יתר על כן, כל נכס טרפז יכול להיות מיוצג כמשימת מפתח במערכת המשימה.

העיקרון השני הוא ארגון הספירלה שנקרא המחקר "המדהימה" תכונות הטרפז. זה מרמז על חזרה לתהליך של למידה לתכונות הבודדות של הצורה הגיאומטרית. לפיכך, הסטודנטים קל יותר לזכור אותם. לדוגמה, רכושו של ארבע נקודות. זה יכול להיות הוכיח כמו במחקר של דמיון, ולאחר מכן באמצעות וקטורים. משולשים שוויון סמוך צידיה של הדמות, אפשר להוכיח באמצעות לא רק את המאפיינים של משולשים עם גבהים שווים שנערך לצדדים מהם לשכב על קו ישר, אלא גם באמצעות ה- S הנוסחה = 1/2 (ab * sinα). יתר על כן, אפשר לחשב את החוק של סינס אל הטרפז חקוקה או משולש ישר זווית ו טרפז המתואר t. ד

השימוש "משלים" כולל צורה גיאומטרית בתוכן כמובן גן - tasking להוראת הטכנולוגיה שלהם. התייחסות מתמדת ללמוד את המאפיינים של המעבר של אחרים מאפשרת לתלמידים ללמוד את הטרפז עמוקים ומבטיחה את צלחת המשימה. אז, נמשיך בלימוד דמות יוצאת דופן זו.

אלמנטים ומאפיינים של טרפז שווה שוקיים

כפי שציינו, ב צורה גיאומטרית זו צדדים שווים. עם זאת, ידוע בתור טרפז תקין. ומה זה כל כך מדהים ומדוע קיבל את שמו? התכונות המיוחדות של המספר הזה מתייחס שיש לה לא רק צדדים שווים וזוויות בבסיס, אלא גם באלכסון. בנוסף, סכום הזוויות של טרפז שווה שוקיים שווה 360 מעלות. אבל זה לא הכל! רק סביב שווה שוק יכולים להיות מתואר על ידי מעגל של כל הטרפזים הידועים. זאת בשל העובדה כי סכום זוויות היפך בנתון זה הוא 180 מעלות, ורק בתנאי זה יכול להיות מתואר מעגל סביב הכיכר המרובעת. המאפיינים הבאים של הצורה הגיאומטרית הם כי המרחק מהחלק העליון של בסיס התחזית של הפסגות המנוגדות על הקו המכיל בסיס זה יהיה שווה את קו האמצע.

עכשיו בואו נראה איך אפשר למצוא את הפינות של טרפז שווה שוקיים. קח פתרון לבעיה זו, ובלבד הגודל של הצדדים ידועים דמות.

החלטה

נהוג לציין את המכתבים רִבּוּעַ A, B, C, D, שבו BS ו- BP - בסיס. בשנת טרפז שווה שוקיים הצדדים שווים. אנו מניחים כי גודלם שווה X ו- Y הם ממדי בסיסים ו- Z (פחות יותר, בהתאמה). לצורך חישוב הזווית את הצורך להוציא את ה גובה התוצאה היא משולש ישר זווית ABN שבו AB - האלכסון, ו BN ו - הרגליים. חשב את הגודל של הרגל: לחסר מבסיס גדול מינימלי, והתוצאה מחולק 2. כתיבת נוסחה: (ZY) / 2 = F. עכשיו, כדי לחשב את זווית חדה של cos פונקציה משולש השימוש. נקבל את הערך הבא: cos (β) = X / פ עכשיו לחשב את הזווית: β = Arcos (X / F). יתר על כן, לדעת בפינה אחת, אנו יכולים לקבוע ושנית, כדי להפוך את פעולת ארבע פעולות החשבון הזה: 180 - β. כל הזוויות מוגדרות.

יש גם פתרון שני של בעיה זו. בתחילת מושמט מהפינה בגובה של הרגל נ מחשבת את הערך של BN. אנו יודעים כי לריבוע של היתר של משולש ישר זווית הוא שווה לסכום הריבועים של שתי הצלעות האחרות. אנחנו מקבלים: BN = √ (F2 X2). הבא, אנו משתמשים בפונקציה TG טריגונומטריות. התוצאה היא: β = arctg (BN / F). זווית החריפה נמצאת. בא, אנו מגדירים בזווית קהה כמו בשיטה הראשונה.

המאפיין של האלכסונים של טרפז שווה שוקיים

ראשית, אנו כותבים את ארבעת הכללים. אם אלכסוני לתוך טרפז שווה שוקיים הם ניצבים, אז:

- הגובה של הדמות הוא שווה לסכום של בסיסים, מחולק לשני;

- גובהו ואת הקו האמצעי שווים;

- אזור של טרפז שווה לריבוע הגובה (קו האמצע כדי בסיסים וחצי);

- בכיכר של האלכסון של ריבוע שווה למחצית הסכום כפול הבסיסים הרבועים או קו האמצע (גובה).

עכשיו להסתכל הנוסחה המגדירה את אלכסוני טרפז שווה צלעות. פיסת מידע זה יכול להיות מחולקת לארבעה חלקים:

1. פורמולה אורך אלכסוני דרך הצד שלה.

אנו מניחים כי A הוא - בסיס נמוך, B - למעלה, C - צלעות שווות, D - אלכסוני. במקרה זה, את האורך ניתן לקבוע כדלקמן:

D = √ (C 2 + A * B).

2. פורמולה לכל אורך האלכסון של קוסינוס.

אנו מניחים כי A הוא - בסיס נמוך, B - למעלה, C - צלעות שווות, D - אלכסוני, α (בבסיס התחתון) ו β (הבסיס העליון) - פינות טרפז. נקבל את הנוסחה הבאה, שבאמצעותו אפשר לחשב את אורך האלכסון:

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosα);

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).

3. פורמולה אורך אלכסון של טרפז שווה שוקיים.

אנו מניחים כי A הוא - בסיס נמוך, B - עליון, D - אלכסוני, M - קו האמצעי H - גובה, P - שטח טרפז, α ו- β - הזווית בין האלכסונים. לקבוע את אורך הנוסחות הבאות:

- D = √ (M2 + N2);

- D = √ (H 2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M * N / sinα).

עבור במקרה זה, שוויון: sinα = sinβ.

4. פורמולה אורך אלכסוני דרך הצדדים וגובה.

אנו מניחים כי A הוא - בסיס נמוך, B - למעלה, C - צדדים, D - אלכסוני, H - גובה, α - זווית עם הבסיס הנמוך.

לקבוע את אורך הנוסחות הבאות:

- D = √ (H 2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H 2 + (B + F * ctgα) 2);

- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C2-H2)).

אלמנטים ומאפיינים של טרפז מלבני

בואו נסתכל מה מעוניין דמות גיאומטרית זה. כפי שאמרנו, יש לנו טרפז מלבני שתי זוויות ישרות.

מלבד ההגדרה הקלאסית, ישנם אחרים. לדוגמה, טרפז מלבני - טרפז שבו צד אחד הוא בניצב לבסיס. או צורה שיש בזוויות צד. בסוג זה של גובה בטרפז הוא בצד כי הוא בניצב הבסיסים. הקו האמצעי - קטע המחבר את האמצע של שני הצדדים. המאפיין של האלמנט אמר הוא שזה מקביל לבסיסים ושווה למחצית הסכום שלהם.

עכשיו בוא לשקול את הנוסחאות הבסיסיות המגדירות את צורות גיאומטריות. כדי לעשות זאת, אנו מניחים כי A ו- B - בסיס; ג (בניצב לבסיס) ו- D - צידי הטרפז מלבני, M - קו אמצעי, α - זווית חדה, P - האזור.

1. הצד בניצב בסיסים, דמות שווה לגובה (C = N), ואת שווה את אורך שנייה לוואי הסינוס של α זווית בסיס גדול (C = A sinα *). יתר על כן, זה שווה למכפלה של המשיק של α הזווית החריף ואת הבדל בסיסים: C = (A-B) * tgα.

2. D הצד (לא בניצב לבסיס) שווה המנה של הבדל של A ו- B ו- קוסינוס (α) או וגלגל את הכדור פנימה לגובה פרטית דמויות H וזווית אקוטי סינוס: A = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. בצד כי הוא בניצב הבסיסי, שווה לשורש הריבועי של הכיכר של D ההבדל - הצד השני - וכן הבדלי בסיס מרובעים:

C = √ (Q2 (A-B) 2).

4. צד א טרפז מלבני שווה לשורש הריבועי של סכום ריבוע של צד מרובע ו- C בסיסים ההבדל צורה גיאומטרית: D = √ (C 2 + (A-B) 2).

5. C צד שווה המנה של ריבוע כפול מסכום הבסיסים שלו: C = P / M = 2P / (A + B).

6. באזור שהוגדר על ידי M המוצר (הקו במרכז טרפז מלבני) בגובה או בכיוון לרוחב בניצב בסיסים: P = M * N = M * ג

7. תפקיד C הוא המנה של פעמיים בצורת ריבוע על ידי המוצר סינוס זווית חריפה וסכום בסיסיו: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. בצד פורמולה של טרפז מלבני דרך האלכסון שלה, ואת הזווית ביניהם:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

איפה D1 ו- D2 - אלכסוני הטרפז; α ו β - הזווית ביניהם.

9. בצד פורמולה דרך זווית בבסיס התחתון ואחרים: A = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα.

מאז הטרפז עם זוויות ישרות היא מקרה פרטי של הטרפז, הנוסחות האחרות הקובעות את הנתונים האלה, תפגושנה ומלבניים.

incircle מאפיינים

אם התנאי הוא אמר כי במעגל מלבני חקוק טרפז, אז אתה יכול להשתמש את המאפיינים הבאים:

- סכום הבסיס הוא הסכום של הצדדים;

- המרחק מהחלק העליון של הצורה המלבנית לנקודות משיק למעגל חקוקה תמיד שווה;

- גובה של הטרפז שווה בצד, בניצב הבסיסים, והוא שווה לקוטר של המעגל ;

- מרכז המעגל הוא הנקודה שבה מצטלבים bisectors של זוויות ;

- אם הצד הלטרלי של נקודת המגע מחולק אורכי N ו- M, אז רדיוס המעגל שווה לשורש הריבועי של המוצר של מגזרים אלה;

- רִבּוּעַ שהוקמה על ידי נקודות המגע, החלק העליון של הטרפז ואת מרכז המעגל חרוט - זהו ריבוע, באיזה צד הוא שווה רדיוס;

- האזור של הדמות הוא התוצר של סיבה והמוצר של חץ הסכום של בסיסים בשיאו.

טרפז דומה

נושא זה הוא מאוד שימושי לחקר המאפיינים של צורות הנדסיות. לדוגמא, הפיצול האלכסוני לארבעה משולשי טרפז, והם הסמוכים לבסיסים של כמו, ולצדדים - של שוויון. הצהרה זו יכולה להיקרא רכוש של משולשים, המהווה אלכסונים שבור טרפז שלה. חלקו הראשון של משפט זה הוכיח באמצעות השלט של הדמיון של שתי הפינות. כדי להוכיח את החלק השני עדיף להשתמש בשיטה המפורטים להלן.

ההוכחה

קבל כי דמות ABSD (AD ו- BC - בסיס הטרפז) הוא אלכסונים שבורים HP ו- AC. נקודת החיתוך - O. אנחנו מקבלים ארבעה משולשים: AOC - בבסיס התחתון, BOS - הבסיס העליון, ABO ו SOD בצדדים. משולשי SOD ויש ביופידבק לגובה משותף במקרה זה, אם הקטעים של BO ו OD הם הבסיסים שלהם. אנו מוצאים כי ההבדל של תחומים שלהם (P) שווה להפרש של מגזרים אלה: PBOS / PSOD = BO / ML = ק כתוצאה מכך, PSOD = PBOS / ק באופן דומה, משולשי AOB ויש ביופידבק לגובה משותף. אושר לשיטת המגזרים לבסיסם SB ו- OA. אנו משיגים PBOS / PAOB = CO / OA = K ו PAOB = PBOS / ק מכאן נובע כי PSOD = PAOB.

כדי לגבש את התלמידים בחומר מוזמנים למצוא קשר בין התחומים משולשים שהושג, אשר הוא טרפז שבור האלכסונים שלה, להחליט את המשימה הבאה. זה ידוע כי משולשים BOS ו- ADP אזורים שווים, יש צורך למצוא את שטח טרפז. מאז PSOD = PAOB, אז PABSD PBOS + = PAOD + 2 * PSOD. מתוך הדמיון של משולשים BOS ו ANM המסקנה היא כי BO / OD = √ (PBOS / PAOD). כתוצאה מכך, PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD). קבל PSOD = √ (* PBOS PAOD). ואז PABSD PBOS + = PAOD + 2 * √ (PAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

דמיון המאפיינים

המשך לפתח את הנושא הזה, אפשר להוכיח, ותכונות מעניינות אחרות של הטרפזים. אז, בעזרת הדמיון יכול להוכיח את קטע הרכוש, אשר עובר דרך הנקודה נוצרה על ידי ההצטלבות של האלכסונים של הצורה הגיאומטרית, במקביל לקרקע. בשביל זה אנחנו לפתור את הבעיה הבאה: יש צורך למצוא את קטע RK אורך שעובר דרך נקודת O. מן הדמיון של משולשים ADP ו SPU כדלקמן כי BS AO / OS = AD /. מתוך הדמיון של משולשים ADP ו ASB המסקנה היא כי AB / AC = PO / AD = BS / (BP + BS). משמעות הדבר היא כי BS * PO = AD / (AD + BC). באופן דומה, מן הדמיון של משולשים MLC ו ABR כדלקמן אישור כי * BP = BS / (BP + BS). משמעות הדבר היא כי OC ו RC = RC = 2 BS * * AD / (AD + BC). הקטע העובר דרך נקודת החיתוך של האלכסונים מקבילים לבסיס וחיבור שני הצדדים, נקודת החיתוך לשניים. אורכו - הוא הממוצע ההרמוני של דמויות סיבה.

קחו למשל את המאפיינים הבאים של טרפז, אשר נקרא קניינה של ארבע נקודות. נקודת החיתוך של האלכסונים (D), בצומת של המשך הצדדים (E) וכן-הבסיסים באמצע (T ו- G) תמיד לשכב על אותו הקו. קל להוכיח את שיטת הדמיון. המשולשים המתקבלים הם BES דומה AED, וכל אחד כולל החציוני ET ו dly לחלק את זווית הקודקוד E בחלקים שווים. לפיכך, הנקודה E, T ו- F הם קוליניארי. באופן דומה, על אותו הקו מסודר מבחינת T, O, ו G. זה נובע הדמיון של משולשי BOS ו ANM. מכאן אנו מסיקים כי כל ארבעת התנאים - E, T, O ו- F - יהיה לשכב על קו ישר.

שימוש טרפזים דומים, ניתן להציע לתלמידים למצוא את אורכו של הקטע (LF), אשר מחלק את הדמות לשני כמו. קיצוץ זה חייב להיות מקביל לבסיסים. מאז LBSF טרפז ALFD שהתקבלו דומה, BS / LF = LF / AD. משמעות הדבר היא כי LF = √ (BS * BP). אנו מסיקים כי קטע זה מתחלק לשניים trapezium כמו, בעל אורך שווה לממוצע הגיאומטרי של אורכי הבסיסים להבין.

קח למשל את רכוש הדמיון הבא. היא מבוססת על קטע זה מחלק את טרפז לשתי חתיכות שוות בגודלן. קבל כי מגזר טרפז ABSD מחולק לשני EH דומה. ממרומי B הוריד את גובה קטע זה מחולק לשני חלקים EN - B1 ו- B2. השג PABSD / 2 = (BS + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (BS + BP) * (B1 + B2) / 2. בהמשך להלחין את המערכת, שבה המשוואה הראשונה (BS + EH) * B1 = (BP + EH) * B2 והשני (BS + EH) * B1 = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2. מכאן נובע כי B2 / B1 = (BS + EH) / (BP + EH) ו BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). אנו מוצאים כי האורך של חלוקת הטרפז על שני שווים, שווים אורכי הממוצע של הבסיסים ריבועית: √ ((CN2 + aq2) / 2).

מסקנות דמיון

לפיכך, אנו הוכחנו כי:

קטע 1. חיבור באמצע הטרפז בצידי לרוחב, במקביל BP ו BS ו BS הוא ממוצע אריתמטי ו BP (אורך בסיס של טרפז).

2. הבר עובר דרך נקודת O חיתוך של AD האלכסונים במקביל לפנה"ס יהיה שווה את המספרים ההרמוניים ממוצע BP ו BS (BS * 2 * AD / (AD + BC)).

3. הקטע השביר טרפז דומה יש BS בסיסים ממוצע גיאומטרי אורך ו- BP.

4. האלמנט אשר מחלק את הצורה לשתי בגודל שווה, באורך מתכוון למספרי מרובע BP ו BS.

כדי לבסס את החומר ומודעות של קשרים בין המגזרים של התלמיד יש צורך לבנות אותם על הטרפז הספציפי. הוא יכול להציג את הקו הממוצע בקלות הקטע שעובר דרך הנקודה - בצומת של האלכסונים של הדמויות - מקביל לקרקע. אבל איפה יהיה השלישי ורביעי? תגובה זו תוביל את התלמיד לגילוי הקשר הידוע בין הערכים הממוצעים.

קטע הצטרפות האמצע של האלכסונים של הטרפז

קח למשל את התכונה הבאה של הדמות. מקובל עלינו כי MN הקטע מקביל לבסיסים ולחלק לשניים באלכסון. נקודת החיתוך נקראת קטע W ו- S. זה יהיה שווה חץ סיבת ההבדל. הבה נבחן זאת ביתר פירוט. MSH - הקו הממוצע של ABS המשולש, זה שווה BS / 2. Minigap - הקו האמצעי של DBA המשולש, זה שווה AD / 2. ואז אנו מוצאים כי SHSCH = minigap-MSH ולכן SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

מרכז כובד

בואו נראה איך אפשר להגדיר את הרכיב עבור דמות גיאומטריות נתונה. כדי לעשות זאת, אתה חייב להרחיב את הבסיס בכיוונים מנוגדים. מה זה אומר? יש צורך להוסיף את הבסיס לחלק התחתון העליון - לכל אחד מהצדדים, למשל, בצד ימין. נמוך יותר להאריך את המשך השמאלי העליון. הבא, להתחבר האלכסוני שלהם. נקודת החיתוך של מגזר זה עם הקו במרכז הדמות היא מרכז הכובד של הטרפז.

כיתוב ותיאר טרפז

בואו רשימה כוללת דמויות כגון:

קו 1. ניתן חרוט במעגל רק אם הוא שווה שוקיים.

2. סביב המעגל ניתן לתאר טרפז, ובלבד שהסכום של אורכי הבסיסים שלהם הוא הסכום של אורכי הצלעות.

השלכות של המעגל החרוט:

1. גובה טרפז תיאר תמיד שווה לפעמיים הרדיוס.

2. הצד של הטרפז תאר נתפסת ממרכז המעגל בזווית ישרה.

התוצאה הראשונה היא ברורה, וכדי להוכיח את השני נדרש להקים שהזווית של SOD היא ישירה, כלומר, למעשה, גם לא יהיה קל. אבל הידע של נכס זה מאפשר לך להשתמש משולש מתאים לפתרון בעיות.

עכשיו אנחנו לציין את ההשלכות של טרפז שווה שוקיים, אשר חרוט במעגל. אנו משיגים כי הגובה הוא הבסיסים הגיאומטריים הדמות: H = 2R = √ (BS * BP). מילוי השיטה הבסיסית של פתירת בעיות עבור טרפזים (עיקרון שני גבהים), התלמיד חייב לפתור את המשימה הבאה. קבל BT כי - גובה שווה שוקיים דמויות ABSD. אתה צריך למצוא משתרע של AT ו AP. החלת הנוסחה המתוארת לעיל, זה יעשה לא קשה.

עכשיו הרשו לנו להסביר כיצד לקבוע את רדיוס המעגל מאזור תיאר טרפז. השמיטו את גובה B העליון על בסיס BP. מאז המעגל חרוט הטרפז, את BS + 2AB = BP או AB = (BS + BP) / 2. מתוך sinα למצוא משולש ABN = BN / 2 * AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. השג PABSD = (BP + BS) * R, המסקנה היא כי R = PABSD / (AD + BC).

.

כל נוסחות קו אמצע טרפז

עכשיו הגיע הזמן לעבור לפריט האחרון של צורה גיאומטרית זו. אנו מבינים, מה הוא הקו האמצעי של הטרפז (M):

1. באמצעות בסיסים: M = (A + B) / 2.

2. לאחר הגובה, הבסיס ופינות:

• M-H = A * (ctgα + ctgβ) / 2;

• M + H = D * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. באמצעות גובה therebetween זווית אלכסונית. לדוגמה, D1 ו- D2 - אלכסוני של הטרפז; α, β - הזווית ביניהם:

= M D1 * D2 * sinα / 2 H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. בתוך השטח וגובה: M = R / נ