בסיסי ניתוח מתמטי. איך למצוא את הנגזרת?

נגזרת של פונקציה f (x) על גבול יחס צמיחה הנקרא פונקציה X0 לנקודה מסוימת על תוספת של הטיעון, ובלבד x שכדי להיות 0, ואת הגבול קיים. נגזרים שיועדו שבץ בדרך כלל, לפעמים באמצעות נקודה או באמצעות הפרש. לעתים קרובות, נגזרת של תוצאות מטעות חוצי גבולות, שכן ייצוג כזה משמש לעתים רחוקות.

פונקציה, אשר יש לו את נגזרת בכל X0 נקודה מסוימת, נקרא גזירה בנקודה כזו. נניח, D1 - ריבוי הנקודות בהן הפונקציה f נבדלת. הקצאה לכל אחד מהמספרים x, השייכים D f "(x), נקבל את השטח לייעוד הפונקציה D1. פונקציה זו היא נגזרת של Y = F (x). הוא יועד: f "(x).

יתר על כן, הנגזר נפוץ פיזיקה והנדסה. קח דוגמא פשוטה. נעתי הנקודה המהותית על ציר לתאם, כאשר נשאלו מה את חוק התנועה, כי הוא, צילומי לתאם של נקודה זו ידועה x (t) פונקציה. במהלך פרק הזמן מ t0 כדי t0 + t שווה עקירה של x הנקודה (t0 + t) -x (t0) x =, ו v המהירות הממוצעת שלה (t) שווה x / t.

לפעמים האופי של התנועה הציג כך את המהירות הממוצעת אינה משנה במרווחי זמן קטנים, כלומר תנועה עם מידה רבה יותר של דיוק נחשב אחיד. לחלופין, הערך של הממוצע מהיר אם t0 כדלקמן לכמה ערך מדויק לחלוטין, והוא המכונה V המהיר המיידי (t0) נקודה כי ברגע מסוים של t0 הזמן. הוא האמין כי v המהיר המיידי (t) ידוע לכל x פונקציה מובחן (t), ובאיזה נ (t) הוא שווה x "(t). במילים פשוטות, מהירות - זה הוא נגזרת של קואורדינטות של זמן.

יש מהירות רגעית הוא ערכים חיוביים ושליליים, ואת הערך הוא 0. אם זה במרווח זמן מסוים (T1; T2) הוא חיובי, ואז נע נקודה באותו הכיוון, דהיינו, x (t) לתאם עולה עם זמן, ואם v (t) הוא שלילי, אז לתאם x (t) פוחת.

בשינה יותר במקרים מורכבים, הנקודה נעה במישור או במרחב. אז המהירות של - כמות וקטור, וקובעת אחת הקואורדינטות של v וקטור (t).

באופן דומה, אפשר להשוות את התאוצה של הנקודה. מהירות היא פונקציה של זמן, כלומר, v = v (t). נגזרת של פונקציה כזו - תנועה אצה: א = נ "(t). כלומר, מתברר כי נגזר הזמן של מהירות היא אצה.

תניח y = f (x) - כל פונקציה מובחנת. ואז נוכל לשקול את ההצעה של נקודה על ציר לתאם, המתקיים על החוק x = f (t). תחזוקה מכאנית של הנגזר נותנת את ההזדמנות לספק פרשנות ברורה של המשפטי של חשבון דיפרנציאלי.

איך למצוא את הנגזרת? מציאת הנגזרת של פונקציה נקראת הבידול שלה.

מניחים דוגמאות שלך של איך למצוא את הנגזרת של הפונקציה:

הנגזרת של פונקציה קבועה שווה לאפס; נגזרת של הפונקציה y = x שווה אחדות.

ואיך למצוא את הנגזרת של השבר? כדי לעשות זאת, לשקול את החומר הבא:

במשך כל X0 <> 0 יש לנו

y / x = -1 / X0 * (x + x)

ישנם כמה כללים, איך למצוא את הנגזרת. כלומר:

אם פונקציות A ו- B הוא נקודת X0 בדיל, אז הסכום שלהם הוא מובחן בנקודה: (A + B) '= א' + ב". במילים פשוטות, נגזרת של סכום שווה לסכום של נגזרים. אם הפונקציה נבדלת בשלב מסוים, אז זה חייב להגדיל לאפס כאשר בעקבות הוויכוח לאפס רווח.

אם פונקציות A ו- B הוא נקודת X0 בדיל, אז המוצר שלהם הוא בדיל ב: (A * B) '= A'B + AB'. (פונקציות ערכים ונגזרותיהם מחושבים על X0 נקודה). אם פונקציה (x) נבדלת בנקודה X0, ו- C - מתמיד, אז הפונקציה CA נבדלת בשלב הזה (CA) "= CA". כלומר, גורם קבוע נלקח מחוץ הסימן של הנגזר.

אם פונקציות A ו- B הוא נקודת X0 בדיל, ואת B הפונקציה אינו שווה לאפס, אז היחס שלהם גם בדיל ב: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B.